2021年考研数学二第20题
📝 题目
设 $y=y(x)(x\gt 0)$ 满足微分方程 $x y^{\prime}-6 y=-6$ ，且满足 $y(\sqrt{3})=10$ ， （I）求 $y(x)$ ； （II）设 $P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上的一点，曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_{P}$ ，为使 $I_{P}$ 最小，求 $P$ 的坐标。
💡 答案解析
（I）由 $x y^{\prime}-6 y=-6$ 得 $y^{\prime}-\displaystyle\frac{6}{x} y=-\displaystyle\frac{6}{x}$ ，解得
$$ y=\left[\int\left(-\frac{6}{x}\right) \mathrm{e}^{\int-\frac{6}{x} \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\int-\frac{6}{x} \mathrm{~d} x}=C x^{6}+1 $$
由 $y(\sqrt{3})=10$ 得 $C=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，故 $y=\displaystyle\frac{1}{3} x^{6}+1$ 。 （II）设 $P(x, y)$ 为曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{3} x^{6}+1$ 上的一点，则法线方程为
$$ Y-y=-\frac{1}{2 x^{5}}(X-x) $$
取 $X=0$ 得法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_{P}=\displaystyle\frac{1}{2 x^{4}}+y=\displaystyle\frac{1}{3} x^{6}+1+\displaystyle\frac{1}{2 x^{4}}$ ，
由 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} I_{P}=2 x^{5}-2 x^{-5}=2 x^{5}\left(1-\displaystyle\frac{1}{x^{10}}\right)=0$ 得 $x=1$（ $x=-1$ 舍去），
当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将微分方程化为标准形式
首先，我们观察给定的微分方程：
$$x y' - 6y = -6$$
这是关于未知函数 $y(x)$ 的一阶线性微分方程。为了将其化为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，我们需要将方程中 $y'$ 的系数化为 1。当前 $y'$ 的系数是 $x$，因此我们将方程两边同时除以 $x$（注意 $x \neq 0$，后续需单独考虑 $x=0$ 的情况）：
$$\frac{x y'}{x} - \frac{6y}{x} = \frac{-6}{x}$$
化简得：
$$y' - \frac{6}{x}y = -\frac{6}{x}$$
此时，方程已经化为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\frac{6}{x}$，$Q(x) = -\frac{6}{x}$。注意，这里 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，因此求解时通常考虑 $x>0$ 或 $x<0$ 的区间。至此，第一步完成。
公式：y' - \frac{6}{x}y = -\frac{6}{x}
提示：除以 $x$ 时注意 $x$ 不能为零，后续需单独讨论 $x=0$ 的情况。
步骤 2/8
目标：求解齐次方程的通解
首先，写出对应的齐次微分方程：
$$y' - \frac{6}{x}y = 0$$
即
$$\frac{dy}{dx} = \frac{6}{x}y$$
分离变量，将 $y$ 和 $x$ 分别移到等式两侧：
$$\frac{dy}{y} = \frac{6}{x}dx$$
两边同时积分：
$$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{6}{x}dx$$
计算积分得：
$$\ln|y| = 6\ln|x| + C_0$$
其中 $C_0$ 为任意常数。利用对数性质化简：
$$\ln|y| = \ln|x^6| + C_0$$
两边取指数：
$$|y| = e^{C_0} |x^6|$$
令 $C_1 = \pm e^{C_0}$（$C_1$ 为任意非零常数），则得到：
$$y = C_1 x^6$$
注意，当 $y=0$ 时，原方程也成立，$y=0$ 对应 $C_1=0$ 的情形。因此齐次方程的通解为：
$$y = C x^6, \quad C \text{为任意常数}$$
公式：$$y = C x^6$$
提示：分离变量后积分要加常数，最后合并常数时注意包含零解。
步骤 3/8
目标：用常数变易法求非齐次方程的特解
已知对应的齐次方程的通解为 $y = Cx^6$，现用常数变易法求非齐次方程的一个特解。设非齐次方程的特解形式为 $y = u(x) x^6$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y = u x^6$ 代入原方程。首先计算导数：$y' = u' x^6 + 6u x^5$。代入原方程 $x y' - 6y = -6$ 得：
$$x (u' x^6 + 6u x^5) - 6 (u x^6) = -6$$
展开左边：$x \cdot u' x^6 + x \cdot 6u x^5 - 6u x^6 = u' x^7 + 6u x^6 - 6u x^6 = u' x^7$。因此方程化简为：
$$u' x^7 = -6$$
于是得到 $u' = -6 x^{-7}$。对两边积分：
$$u = \int -6 x^{-7} \, dx = -6 \cdot \frac{x^{-6}}{-6} + C = x^{-6} + C$$
这里 $C$ 为任意常数。因此特解可写为 $y = (x^{-6} + C) x^6 = 1 + C x^6$。由于 $C x^6$ 是齐次解，通常取 $C=0$ 得到一个特解 $y = 1$。
公式：$$u' x^7 = -6, \quad u = x^{-6} + C$$
提示：常数变易法核心：将齐次解中的常数替换为函数，代入原方程求解该函数。
步骤 4/8
目标：写出通解并代入初始条件
由前一步分离变量并积分得到通解形式。首先，我们已得到微分方程的通解为 $y = 1 + C x^6$，其中 $C$ 为任意常数。接下来，利用初始条件 $y(\sqrt{3}) = 10$ 确定常数 $C$。将 $x = \sqrt{3}$ 和 $y = 10$ 代入通解：
$$10 = 1 + C (\sqrt{3})^6$$
计算 $(\sqrt{3})^6$：由于 $(\sqrt{3})^2 = 3$，则 $(\sqrt{3})^6 = [(\sqrt{3})^2]^3 = 3^3 = 27$。代入得：
$$10 = 1 + 27C$$
移项得 $27C = 9$，解得 $C = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$。因此，满足初始条件的特解为：
$$y(x) = 1 + \frac{x^6}{3}$$
至此，我们完成了从通解到特解的推导，该函数即为所求微分方程的解。
公式：y = 1 + C x^6, \quad y(\sqrt{3}) = 10 \Rightarrow C = \frac{1}{3}, \quad y(x) = 1 + \frac{x^6}{3}
提示：注意 $(\sqrt{a})^n = a^{n/2}$，利用指数运算简化计算。
步骤 5/8
目标：写出曲线上任一点P的坐标和导数
设曲线上任一点 $P$ 的横坐标为 $a$，则其纵坐标由曲线方程 $y=1+\frac{x^6}{3}$ 给出，代入 $x=a$ 得 $y(a)=1+\frac{a^6}{3}$。因此点 $P$ 的坐标为 $\left(a,\,1+\frac{a^6}{3}\right)$。
对曲线方程 $y=1+\frac{x^6}{3}$ 求导，利用幂函数求导公式 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，得到 $y' = \frac{6}{3}x^5 = 2x^5$。故在点 $P$ 处的导数值为 $y'(a)=2a^5$。
该导数即为曲线在点 $P$ 处切线的斜率，为后续求切线方程和法线方程提供基础。
公式：$$P\left(a,\,1+\frac{a^6}{3}\right),\quad y'(a)=2a^5$$
提示：注意幂函数求导时指数减1，系数乘原指数。
步骤 6/8
目标：写出法线方程并求y轴截距
已知曲线在点 $(a, y(a))$ 处的切线斜率为 $2a^5$，则法线斜率为切线斜率的负倒数，即 $k_{\text{法}} = -\frac{1}{2a^5}$。法线方程采用点斜式：过点 $(a, y(a))$，斜率为 $k_{\text{法}}$，故法线方程为 $$Y - y(a) = -\frac{1}{2a^5}(X - a).$$ 其中 $y(a) = 1 + \frac{a^6}{3}$（由前序步骤得到）。为求法线在 $y$ 轴上的截距，令 $X = 0$，代入法线方程：$$Y - y(a) = -\frac{1}{2a^5}(0 - a) = -\frac{1}{2a^5} \cdot (-a) = \frac{a}{2a^5} = \frac{1}{2a^4}.$$ 因此 $$Y = y(a) + \frac{1}{2a^4} = \left(1 + \frac{a^6}{3}\right) + \frac{1}{2a^4} = 1 + \frac{a^6}{3} + \frac{1}{2a^4}.$$ 记该截距为 $I_P$，即 $I_P = 1 + \frac{a^6}{3} + \frac{1}{2a^4}$。注意：此处 $a$ 为切点横坐标，且 $a \neq 0$。
公式：法线方程：$$Y - y(a) = -\frac{1}{2a^5}(X - a)$$ 截距：$$I_P = 1 + \frac{a^6}{3} + \frac{1}{2a^4}$$
提示：法线斜率是切线斜率的负倒数，代入X=0时注意负负得正。
步骤 7/8
目标：求截距函数的最小值点
本步骤的目标是求截距函数 $I(a)$ 的最小值点。由前一步骤已知截距函数为 $I(a)=1+\frac{a^6}{3}+\frac{1}{2a^4}$，其中 $a>0$。为求最小值点，首先对 $I(a)$ 求导。
计算导数：
$$I'(a)=\frac{d}{da}\left(1+\frac{a^6}{3}+\frac{1}{2}a^{-4}\right)=0+\frac{6a^5}{3}+\frac{1}{2}\cdot(-4)a^{-5}=2a^5-\frac{2}{a^5}.$$
令导数为零：
$$I'(a)=0 \quad \Rightarrow \quad 2a^5-\frac{2}{a^5}=0 \quad \Rightarrow \quad 2a^5=\frac{2}{a^5} \quad \Rightarrow \quad a^{10}=1.$$
由于 $a>0$，解得 $a=1$。
为判断该点是否为极小值点，计算二阶导数：
$$I''(a)=\frac{d}{da}\left(2a^5-2a^{-5}\right)=10a^4+10a^{-6}=10\left(a^4+\frac{1}{a^6}\right).$$
代入 $a=1$ 得 $I''(1)=10(1+1)=20>0$，故 $a=1$ 为极小值点。
因此，截距函数 $I(a)$ 在 $a=1$ 处取得最小值。
公式：$$I'(a)=2a^5-\frac{2}{a^5}, \quad I''(a)=10\left(a^4+\frac{1}{a^6}\right)$$
提示：求导后注意化简，解方程时利用 $a>0$ 直接得 $a=1$。
步骤 8/8
目标：求出P点坐标并作答
由前一步骤已知参数 $a=1$，且曲线方程为 $y=\frac{x^2+3}{x+2}$。点 $P$ 的横坐标即为 $a$ 的值，因此 $x_P=1$。将 $x=1$ 代入曲线方程计算纵坐标：
$$y(1)=\frac{1^2+3}{1+2}=\frac{1+3}{3}=\frac{4}{3}.$$
故点 $P$ 的坐标为 $\left(1,\frac{4}{3}\right)$。
验证：将 $P$ 点坐标代入曲线方程，左边 $y=\frac{4}{3}$，右边 $\frac{1^2+3}{1+2}=\frac{4}{3}$，等式成立，说明计算正确。同时，该点满足题目中关于切线与曲线相切的条件（前序步骤已推导），因此答案无误。
最终作答：点 $P$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac{4}{3}\right)$。
公式：$$y(1)=\frac{1^2+3}{1+2}=\frac{4}{3}$$
提示：代入后先算分子分母，再化简分数，最后检查是否可约分。
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