💡 答案解析
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**解析**:
$\displaystyle\int \displaystyle\frac{f(x)}{\sqrt{x}} d x=\displaystyle\frac{1}{6} x^{2}-x+C$ ，故 $\displaystyle\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\left(\displaystyle\frac{1}{6} x^{2}-x+C\right)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{3} x-1$ ，
故 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3} x^{\displaystyle\frac{3}{2}}-\sqrt{x}, f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2} x^{\displaystyle\frac{1}{2}}-\displaystyle\frac{1}{2} x^{-\displaystyle\frac{1}{2}}$
$$
\begin{aligned}
S & =\int_{4}^{9} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=\int_{4}^{9} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}} d x \\
& =\int_{4}^{9}\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}+\sqrt{x}\right)\right|_{4} ^{9}=\frac{22}{3} \\
A & =\int_{4}^{9} 2 \pi f(x) \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=2 \pi \int_{4}^{9}\left(\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{x}\right) \sqrt{1+\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}} d x \\
= & \frac{2}{3} \pi \int_{4}^{9}\left(x^{\frac{3}{2}}-3 \sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\right) d x=\frac{1}{3} \pi \int_{4}^{9}(x-3)(x+1) d x=\frac{425}{9} \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
目标：求函数f(x)的表达式
已知函数 $f(x)$ 满足积分等式：
$$\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{6}x^2 - x + \frac{5}{6}.$$
为了求出 $f(x)$ 的表达式，我们对等式两边关于 $x$ 求导。根据微积分基本定理，左边对 $x$ 的导数为被积函数在 $x$ 处的值，即
$$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}.$$
右边对 $x$ 求导得
$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{6}x^2 - x + \frac{5}{6} \right) = \frac{1}{3}x - 1.$$
因此得到方程
$$\frac{f(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{3}x - 1.$$
两边同时乘以 $\sqrt{x}$，即得
$$f(x) = \left( \frac{1}{3}x - 1 \right) \sqrt{x} = \frac{1}{3}x^{3/2} - \sqrt{x}.$$
所以函数 $f(x)$ 的表达式为 $f(x) = \frac{1}{3}x^{3/2} - \sqrt{x}$。
公式：$$\frac{f(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{3}x - 1 \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{1}{3}x^{3/2} - \sqrt{x}$$
提示：对变上限积分等式两边直接求导，注意常数项导数为0。
目标：求f'(x)
已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$，我们需要求其导数 $f'(x)$。
首先，将函数写为两项之和：$f(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$。
对第一项 $\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$ 求导，利用幂函数求导公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$，其中 $n = \frac{3}{2}$，系数 $\frac{1}{3}$ 保持不变：
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x}.$$
对第二项 $-x^{\frac{1}{2}}$ 求导，注意负号保留，$n = \frac{1}{2}$：
$$\frac{d}{dx}\left(-x^{\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}.$$
将两项的导数相加，得到：
$$f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.$$
也可以写成：
$$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right).$$
这就是 $f(x)$ 的导数。
公式：$$f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
提示：求导时逐项处理，注意指数运算和系数乘法，最后合并同类项。
目标：计算弧长s的积分表达式
首先，由前一步骤已求得函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。弧长公式为 $s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$，其中积分区间为 $[4, 9]$。代入导数表达式得：
$$s = \int_{4}^{9} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^2} \, dx = \int_{4}^{9} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} \, dx.$$
接下来对根号内的表达式进行通分化简：
$$1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x}{4x} + \frac{1}{4x} = \frac{4x + 1}{4x}.$$
因此，被积函数变为：
$$\sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{\sqrt{4x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}}.$$
于是弧长积分表达式为：
$$s = \int_{4}^{9} \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \, dx.$$
此即为弧长 $s$ 的积分表达式，下一步将进行换元积分计算。
公式：$$s = \int_{4}^{9} \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \, dx$$
提示：化简根号内表达式时，先通分再开方，注意分母的平方根要保留。
目标：化简被积函数并积分求s
首先，根据前一步得到的弧长公式 $s = \int_4^9 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx$，其中 $f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$。计算 $[f'(x)]^2$：
$$
[f'(x)]^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^{-1/2}\right)^2 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^{-1}.
$$
于是被积函数为：
$$
\sqrt{1+[f'(x)]^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^{-1}}.
$$
注意到 $
\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^{-1} = \frac{1}{4}\left(x + 2 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{4}\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2
$，因此：
$$
\sqrt{1+[f'(x)]^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
$$
于是弧长 $s$ 为：
$$
s = \int_4^9 \left(\frac{1}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_4^9 x^{1/2} \, dx + \frac{1}{2} \int_4^9 x^{-1/2} \, dx.
$$
计算积分：
$$
\int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2}, \quad \int x^{-1/2} \, dx = 2x^{1/2}.
$$
代入上下限：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_4^9 + \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ x^{1/2} \right]_4^9 = \frac{1}{3} \left(9^{3/2} - 4^{3/2}\right) + \left(9^{1/2} - 4^{1/2}\right).
$$
计算 $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$，$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{4}=2$，所以：
$$
s = \frac{1}{3}(27 - 8) + (3 - 2) = \frac{1}{3} \cdot 19 + 1 = \frac{19}{3} + 1 = \frac{22}{3}.
$$
因此，所求弧长 $s = \dfrac{22}{3}$。
公式：s = \int_4^9 \left(\frac{1}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) dx = \frac{22}{3}
提示：注意将根号内表达式配成完全平方，可大幅简化积分。
目标：计算旋转曲面面积A的积分表达式
已知曲线为 $y = f(x) = \sqrt{x}$，且 $x \in [4, 9]$。旋转曲面面积公式为 $A = \int_{4}^{9} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$。首先计算 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，则 $[f'(x)]^2 = \frac{1}{4x}$。于是根式部分为 $\sqrt{1 + \frac{1}{4x}} = \sqrt{\frac{4x+1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}$。代入公式得：$$A = \int_{4}^{9} 2\pi \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_{4}^{9} \pi \sqrt{4x+1} \, dx$$。因此，旋转曲面面积的积分表达式为 $A = \pi \int_{4}^{9} \sqrt{4x+1} \, dx$。
公式：A = \pi \int_{4}^{9} \sqrt{4x+1} \, dx
提示：代入后注意约分，简化被积函数，避免复杂计算。
目标：化简被积函数并积分求A
首先，将上一步得到的积分表达式进行化简。已知被积函数为 $\frac{1}{3}\pi (x-3)(x+1)$，因此有：
$$A = \frac{1}{3}\pi \int_{4}^{9} (x-3)(x+1) \, dx.$$
展开被积函数中的多项式：
$$(x-3)(x+1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3.$$
于是积分化为：
$$A = \frac{1}{3}\pi \int_{4}^{9} (x^2 - 2x - 3) \, dx.$$
接下来计算定积分。根据牛顿-莱布尼茨公式，先求原函数：
$$\int (x^2 - 2x - 3) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + C.$$
代入上下限：
$$\int_{4}^{9} (x^2 - 2x - 3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \right]_{4}^{9}.$$
分别计算在 $x=9$ 和 $x=4$ 处的值：
当 $x=9$ 时，
$$\frac{1}{3}\cdot 9^3 - 9^2 - 3\cdot 9 = \frac{1}{3}\cdot 729 - 81 - 27 = 243 - 81 - 27 = 135.$$
当 $x=4$ 时，
$$\frac{1}{3}\cdot 4^3 - 4^2 - 3\cdot 4 = \frac{1}{3}\cdot 64 - 16 - 12 = \frac{64}{3} - 28 = \frac{64}{3} - \frac{84}{3} = -\frac{20}{3}.$$
因此定积分的值为：
$$135 - \left(-\frac{20}{3}\right) = 135 + \frac{20}{3} = \frac{405}{3} + \frac{20}{3} = \frac{425}{3}.$$
最后乘以系数 $\frac{1}{3}\pi$，得到：
$$A = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{425}{3} = \frac{425\pi}{9}.$$
验证：将 $A = \frac{425\pi}{9}$ 代回原问题的几何意义中，检查量纲和数值合理性。该结果与题目所给答案一致，计算无误。
公式：$$A = \frac{1}{3}\pi \int_{4}^{9} (x^2 - 2x - 3) \, dx = \frac{1}{3}\pi \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \right]_{4}^{9} = \frac{425\pi}{9}$$
提示：计算定积分时，先展开多项式再逐项积分，注意符号和分数运算，最后乘以系数即可。