2021年考研数学二第1题

首先，我们根据题目要求，写出待求极限的表达式。题目中给出的极限是：当$x \to 0$时，求$\frac{\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) \, dt}{x^{7}}$的极限。因此，我们直接建立极限表达式如下： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}} - 1) \, dt}{x^{7}} $$ 这个极限是$\frac{0}{0}$型未定式，因为当$x \to 0$时，分子积分上限$x^{2} \to 0$，被积函数$e^{t^{3}}-1 \sim t^{3}$（当$t \to 0$时），所以积分$\int_{0}^{x^{2}} (e^{t^{3}}-1) \, dt \sim \int_{0}^{x^{2}} t^{3} \, dt = \frac{x^{8}}{4}$，而分母$x^{7} \to 0$，因此分子和分母都趋于0，符合洛必达法则或等价无穷小代换的条件。 在后续步骤中，我们将利用洛必达法则或等价无穷小代换来求解该极限。本步骤的关键是正确写出极限表达式，并识别其类型。

由于当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_0^{x^2} (e^{t^3} - 1) \, dt$ 和分母 $x^7$ 均趋于 $0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型未定式，因此可应用洛必达法则。对分子和分母分别求导。 首先求分子的导数。设 $F(x) = \int_0^{x^2} (e^{t^3} - 1) \, dt$，由莱布尼茨公式（含参变量积分求导），有 $$F'(x) = (e^{(x^2)^3} - 1) \cdot (x^2)' = (e^{x^6} - 1) \cdot 2x.$$ 分母 $G(x) = x^7$ 的导数为 $G'(x) = 7x^6$。 因此，应用洛必达法则后，原极限转化为 $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} (e^{t^3} - 1) \, dt}{x^7} = \lim_{x \to 0} \frac{2x(e^{x^6} - 1)}{7x^6} = \lim_{x \to 0} \frac{2(e^{x^6} - 1)}{7x^5}.$$ 此时极限仍为 $\frac{0}{0}$ 型，后续步骤需继续处理。

在第二步中，我们通过洛必达法则得到了极限表达式： $$ \lim_{x\to 0} \frac{2x(e^{x^6}-1)}{7x^6} $$ 现在需要对这个表达式进行化简。首先，分子和分母都含有因子 $x$，我们可以约去一个 $x$。具体地，分子为 $2x(e^{x^6}-1)$，分母为 $7x^6$，将分子中的 $x$ 与分母中的一个 $x$ 约去，得到： $$ \lim_{x\to 0} \frac{2(e^{x^6}-1)}{7x^5} $$ 注意，约分后分母的指数从 $6$ 降为 $5$，分子中不再含有单独的 $x$ 因子。此时极限形式仍然是 $\frac{0}{0}$ 型（因为当 $x\to 0$ 时，$e^{x^6}-1 \sim x^6$，而分母为 $7x^5$，所以分子趋于 $0$，分母也趋于 $0$），但已经比原式更简洁。这个化简过程是后续继续使用洛必达法则或等价无穷小替换的基础。 化简后的表达式为： $$ \lim_{x\to 0} \frac{2(e^{x^6}-1)}{7x^5} $$ 这一步没有进行数值计算，只是代数化简，为下一步求极限做好准备。

本步骤的目标是利用等价无穷小替换简化极限表达式。当前极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^6} - 1}{7x^5}$。当 $u \to 0$ 时，有等价无穷小关系 $e^u - 1 \sim u$。令 $u = x^6$，由于 $x \to 0$ 时 $x^6 \to 0$，因此 $e^{x^6} - 1 \sim x^6$。将这一等价关系代入原极限，得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^6} - 1}{7x^5} = \lim_{x \to 0} \frac{x^6}{7x^5}. $$ 化简分子分母：$\frac{x^6}{7x^5} = \frac{x}{7}$。于是极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{7}. $$ 此时，直接代入 $x = 0$ 可得极限值为 $0$。注意，等价无穷小替换要求替换后的表达式与原表达式在极限过程中是等价的，这里 $e^{x^6} - 1$ 与 $x^6$ 的比值的极限为 $1$，因此替换是合法的。经过本步骤，我们将原极限简化为一个简单的线性函数极限，为下一步直接代入求值做好准备。

计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$。 首先，将分子中的函数展开为泰勒级数（麦克劳林级数）至 $x^3$ 项： $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$ 代入分子： $\ln(1+x) - \sin x + \frac{x^2}{2} = \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) + \frac{x^2}{2}$ 合并同类项： $x$ 项：$x - x = 0$ $x^2$ 项：$-\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} = 0$ $x^3$ 项：$\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{2x^3}{6} + \frac{x^3}{6} = \frac{3x^3}{6} = \frac{x^3}{2}$ 更高阶项（$x^4$ 及以上）记为 $o(x^3)$。 因此分子为 $\frac{x^3}{2} + o(x^3)$。 于是极限为： $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + \frac{o(x^3)}{x^3}\right) = \frac{1}{2} \neq 0$$ 注意：题目中给出的极限值为0，但实际计算得到 $\frac{1}{2}$，说明分子与分母 $x^3$ 是同阶无穷小，而不是高阶无穷小。因此，原题中“极限=0”的步骤目标可能有误，或者题目中分母的幂次不同。根据实际计算结果，分子是分母 $x^3$ 的同阶无穷小，阶数为3。 最终答案：极限为 $\frac{1}{2}$，分子是 $x^3$ 的同阶无穷小，阶数为3。