2021年考研数学二第6题

已知条件为：$f(x+1, e^x) = x(x+1)^2$。我们需要对等式两边关于 $x$ 求导。注意左边是复合函数，$f$ 是二元函数，其自变量分别为 $u = x+1$ 和 $v = e^x$。根据多元复合函数求导法则，左边对 $x$ 的导数为： $$\frac{d}{dx} f(u, v) = f'_1(u, v) \cdot \frac{du}{dx} + f'_2(u, v) \cdot \frac{dv}{dx}$$ 其中 $f'_1$ 表示 $f$ 对第一个变量的偏导数，$f'_2$ 表示 $f$ 对第二个变量的偏导数。由于 $\frac{du}{dx}=1$，$\frac{dv}{dx}=e^x$，因此左边导数为： $$f'_1(x+1, e^x) \cdot 1 + f'_2(x+1, e^x) \cdot e^x$$ 右边 $x(x+1)^2$ 是 $x$ 的一元函数，求导时使用乘积法则： $$\frac{d}{dx} \left[ x(x+1)^2 \right] = (x+1)^2 + x \cdot 2(x+1) \cdot 1 = (x+1)^2 + 2x(x+1)$$ 于是得到等式： $$f'_1(x+1, e^x) + e^x f'_2(x+1, e^x) = (x+1)^2 + 2x(x+1)$$ 现在代入 $x=0$。此时 $x+1=1$，$e^x=1$，右边 $(0+1)^2 + 2 \cdot 0 \cdot (0+1) = 1 + 0 = 1$。因此得到： $$f'_1(1,1) + f'_2(1,1) = 1$$ 这就是本步骤的目标结果。

已知第二个条件为 $f(x, x^2) = 2x^2 \ln x$。为了利用该等式求出 $f$ 在点 $(1,1)$ 处的偏导数值，我们对等式两边关于 $x$ 求导。 左边 $f(x, x^2)$ 是复合函数，设 $u = x$，$v = x^2$，则 $f(u, v)$ 对 $x$ 的全导数为： $$\frac{d}{dx} f(x, x^2) = f'_1(x, x^2) \cdot \frac{du}{dx} + f'_2(x, x^2) \cdot \frac{dv}{dx} = f'_1(x, x^2) \cdot 1 + f'_2(x, x^2) \cdot 2x.$$ 其中 $f'_1$ 表示对第一个变量的偏导数，$f'_2$ 表示对第二个变量的偏导数。 右边 $2x^2 \ln x$ 对 $x$ 求导，使用乘积法则： $$\frac{d}{dx}(2x^2 \ln x) = 2 \cdot 2x \cdot \ln x + 2x^2 \cdot \frac{1}{x} = 4x \ln x + 2x.$$ 因此求导后得到等式： $$f'_1(x, x^2) + 2x \, f'_2(x, x^2) = 4x \ln x + 2x.$$ 现在代入 $x = 1$。此时 $(x, x^2) = (1, 1)$，且 $\ln 1 = 0$，右边为 $4 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$。左边为 $f'_1(1, 1) + 2 \cdot 1 \cdot f'_2(1, 1) = f'_1(1, 1) + 2 f'_2(1, 1)$。 于是得到关系式： $$f'_1(1, 1) + 2 f'_2(1, 1) = 2.$$

根据前两步得到的两个方程： $$f_1'(1,1) + f_2'(1,1) = 1 \quad \text{(1)}$$ $$f_1'(1,1) + 2f_2'(1,1) = 2 \quad \text{(2)}$$ 现在联立求解。用方程(2)减去方程(1)，得： $$[f_1'(1,1) + 2f_2'(1,1)] - [f_1'(1,1) + f_2'(1,1)] = 2 - 1$$ 化简得： $$f_2'(1,1) = 1$$ 将$f_2'(1,1)=1$代入方程(1)： $$f_1'(1,1) + 1 = 1$$ 解得： $$f_1'(1,1) = 0$$ 因此，两个偏导数的值为： $$f_1'(1,1) = 0, \quad f_2'(1,1) = 1$$

在步骤3中，我们已经求出了函数$f(x,y)$在点$(1,1)$处的两个一阶偏导数：$f'_x(1,1)=0$，$f'_y(1,1)=1$。根据全微分的定义，二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分公式为： $$\mathrm{d}f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f'_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y$$ 将$(x_0,y_0)=(1,1)$以及求得的偏导数值代入，得到： $$\mathrm{d}f(1,1)=0\cdot\mathrm{d}x+1\cdot\mathrm{d}y=\mathrm{d}y$$ 因此，函数$f(x,y)$在点$(1,1)$处的全微分等于$\mathrm{d}y$。对照题目给出的四个选项： (A) $\mathrm{d}x$ (B) $\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ (C) $\mathrm{d}y$ (D) $-\mathrm{d}y$ 显然，选项(C) $\mathrm{d}y$ 与我们的计算结果一致。 **验证**：全微分的结果仅依赖于该点处的偏导数值，我们已通过隐函数求导法则和链式法则正确求出了$f'_x(1,1)=0$和$f'_y(1,1)=1$，代入全微分公式后得到$\mathrm{d}y$，与选项(C)完全吻合，故选择(C)。