2021年考研数学二第7题
📝 题目
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$ ．
A
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle \frac{2 k-1}{2 n}\right) \displaystyle \frac{1}{2 n}$
B
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle \frac{2 k-1}{2 n}\right) \displaystyle \frac{1}{n}$
C
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\displaystyle \frac{k-1}{2 n}\right) \displaystyle \frac{1}{n}$
D
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\displaystyle \frac{k}{2 n}\right) \displaystyle \frac{2}{n}$
💡 答案解析
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**解析**:
（B）
由定积分定义 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle\frac{k}{n}\right) \displaystyle\frac{1}{n}$ ，这里将区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等份， 即 $\left[0, \displaystyle\frac{1}{n}\right] \cdots\left[\displaystyle\frac{k-1}{n}, \displaystyle\frac{k}{n}\right] \cdots\left[\displaystyle\frac{n-1}{n}, 1\right]$ ．特殊点依次取区间中点 $\displaystyle\frac{k-\displaystyle\frac{1}{2}}{n}=\displaystyle\frac{2 k-1}{2 n},(k=1, \cdots, n)$ ，故 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(\displaystyle\frac{2 k-1}{2 n}\right) \displaystyle\frac{1}{n}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：识别定积分的定义形式
首先，明确定积分 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 的黎曼和定义。将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta x = \frac{1}{n}$。分点依次为 $x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{n}, x_2 = \frac{2}{n}, \dots, x_n = 1$。
在定积分的定义中，我们可以选择每个小区间上的任意点作为采样点。常见的取点方式有：
- **右端点**：在第 $i$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上取右端点 $x_i = \frac{i}{n}$，则黎曼和为 $\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$。
- **左端点**：取左端点 $x_{i-1} = \frac{i-1}{n}$，黎曼和为 $\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$。
- **中点**：取中点 $\frac{x_{i-1}+x_i}{2} = \frac{2i-1}{2n}$，黎曼和为 $\sum_{i=1}^n f\left(\frac{2i-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$。
根据定积分的定义，当 $n \to \infty$ 时，上述黎曼和的极限均等于定积分 $\int_0^1 f(x) \, dx$，即：
$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \cdot \frac{1}{n}$$
其中 $\xi_i$ 是第 $i$ 个小区间上的任意点。
在本题中，我们需要根据题目给出的具体极限形式，识别出它对应的是哪一种取点方式，从而将极限转化为定积分。例如，若极限为 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)$，则对应右端点取法，积分区间为 $[0,1]$。若极限中 $\frac{i-1}{n}$ 出现，则对应左端点。若出现 $\frac{2i-1}{2n}$，则对应中点。
因此，本步骤的关键是：观察极限表达式中求和项的自变量形式，确定采样点的位置，进而写出对应的定积分形式。
公式：$$\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \cdot \frac{1}{n}, \quad \xi_i \in \left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]$$
提示：观察求和项中 $i/n$ 的形式，判断是左端点、右端点还是中点，从而确定积分区间。
步骤 2/2
目标：对比选项，判断正确的黎曼和表达式
在定积分定义中，将区间$[0,1]$等分为$n$个小区间，每个小区间长度为$\Delta x = \frac{1}{n}$。第$k$个小区间为$\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，其中$k=1,2,\dots,n$。题目要求取点为小区间中点，即第$k$个小区间的中点坐标为$\frac{k-1}{n} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n} = \frac{2k-1}{2n}$。因此，正确的黎曼和表达式应为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right).$$
现在逐一检查选项：
- **选项A**：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)$。取点位置为$\frac{2k-1}{2n}$，区间长度为$\frac{1}{n}$，完全符合中点黎曼和的定义。
- **选项B**：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)$。与选项A相同，但需注意题目中可能有多余的干扰项，实际该选项与A一致，但若题目中B的表达式有差异（例如求和指标或系数不同），则需仔细辨别。本题中B的表达式与A相同，因此也正确，但通常单选题只有一个正确选项，需结合原题具体选项判断。
- **选项C**：$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{n}\right)$。区间长度为$\frac{2}{n}$，但实际区间长度应为$\frac{1}{n}$，且取点$\frac{2k-1}{n}$不是中点（当$n$较大时，该点可能超出区间$[0,1]$），故错误。
- **选项D**：$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)$。取点正确，但区间长度$\frac{2}{n}$是正确值的两倍，导致极限值变为原积分的两倍，故错误。
因此，正确选项为A（或B，若B与A相同）。最终答案：A。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：牢记中点公式：第k个小区间中点为$\frac{2k-1}{2n}$，区间长度为$\frac{1}{n}$。
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