2022年考研数学二第14题

给定三阶常系数齐次线性微分方程 $y''' - 2y'' + 5y' = 0$。对于形如 $y''' + a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ 的常系数齐次线性微分方程，我们假设解具有指数形式 $y = e^{rx}$，其中 $r$ 为待定常数。将 $y = e^{rx}$ 代入方程，利用导数性质 $y' = r e^{rx}$，$y'' = r^2 e^{rx}$，$y''' = r^3 e^{rx}$，代入原方程得： $$r^3 e^{rx} - 2 r^2 e^{rx} + 5 r e^{rx} = 0$$ 由于 $e^{rx} \neq 0$，两边同时除以 $e^{rx}$ 得到关于 $r$ 的代数方程： $$r^3 - 2r^2 + 5r = 0$$ 此方程即为原微分方程的特征方程。特征方程的根决定了微分方程通解的形式。注意原方程中缺少 $y$ 项（即 $y$ 的系数为0），因此特征方程中无常数项，可提取公因子 $r$ 进行因式分解： $$r(r^2 - 2r + 5) = 0$$ 这一步为后续求解特征根做好准备。

由第一步得到的特征方程 $r^3 - 2r^2 + 5r = 0$，首先提取公因式 $r$，得到 $r(r^2 - 2r + 5) = 0$。 令 $r = 0$，即得第一个特征根 $r_1 = 0$。 接下来解二次方程 $r^2 - 2r + 5 = 0$。使用求根公式： $$ r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i. $$ 因此，另外两个特征根为 $r_2 = 1 + 2i$，$r_3 = 1 - 2i$。 至此，全部特征根求解完毕：$r_1 = 0$，$r_{2,3} = 1 \pm 2i$。

由前一步骤已求得特征根为：$r_1 = 0$（单实根）和 $r_{2,3} = 1 \pm 2i$（一对共轭复根）。根据常系数齐次线性微分方程通解的结构规则，每个特征根对应一项基本解： - 单实根 $r = 0$ 对应基本解 $e^{0 \cdot x} = 1$，其系数为任意常数 $C_1$，故该项为 $C_1$。 - 一对共轭复根 $\alpha \pm i\beta$（此处 $\alpha = 1$，$\beta = 2$）对应两个线性无关的实值基本解：$e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ 和 $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$，即 $e^{x}\cos 2x$ 和 $e^{x}\sin 2x$。它们分别乘以任意常数 $C_2$ 和 $C_3$，组合为 $e^{x}(C_2\cos 2x + C_3\sin 2x)$。 将上述两部分相加，即得微分方程的通解： $$ y = C_1 + e^{x}(C_2\cos 2x + C_3\sin 2x) $$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。 **验证**：该通解满足三阶常系数齐次线性微分方程，因为每一项分别对应特征根的基本解，且线性组合仍为解。若题目给出初始条件，可进一步确定常数，但本题仅要求写出通解形式。