2022年考研数学二第15题

在极坐标系中，曲线由方程 $r = f(\theta)$ 给出，其中 $r$ 表示点到极点的距离，$\theta$ 表示极角。当 $\theta$ 从 $\alpha$ 变化到 $\beta$ 时，曲线 $r = f(\theta)$ 与射线 $\theta = \alpha$、$\theta = \beta$ 所围成的区域面积可以通过微元法推导。 考虑极角的一个微小增量 $\mathrm{d}\theta$，对应的曲线弧段与极点构成的图形近似于一个扇形。该扇形的半径为 $r$，圆心角为 $\mathrm{d}\theta$，其面积微元为 $\mathrm{d}S = \frac{1}{2} r^2 \mathrm{d}\theta$。将所有这样的扇形面积从 $\theta = \alpha$ 到 $\theta = \beta$ 累加，即得到总面积： $$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 \, \mathrm{d}\theta.$$ 该公式是极坐标下求曲线围成区域面积的基本公式。使用时需注意： 1. 曲线必须由 $r = f(\theta)$ 给出，且 $f(\theta)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续。 2. 积分区间 $[\alpha, \beta]$ 应覆盖整个封闭区域，通常需要根据曲线的对称性和周期性确定。 3. 如果曲线自身相交，需分段计算。 本步骤的目标是明确写出该公式，为后续代入具体函数和积分限做准备。

在极坐标系中，曲线 $r = \sin 3\theta$ 所围成的图形面积可以通过极坐标面积公式计算。极坐标下，由曲线 $r = f(\theta)$ 及射线 $\theta = \alpha$、$\theta = \beta$ 所围成的曲边扇形面积为 $S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta$。 对于三叶玫瑰线 $r = \sin 3\theta$，其图形具有对称性，通常只需计算一片叶子的面积再乘以叶片数。一片叶子对应 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{3}$，因为当 $\theta = 0$ 时 $r = 0$，当 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 时 $r = 1$（最大值），当 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 时 $r = 0$，恰好完成一片叶子的轮廓。 将 $r = \sin 3\theta$ 代入面积公式，得到一片叶子的面积为： $$S_{\text{一片}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/3} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/3} \sin^2(3\theta) \, d\theta.$$ 由于三叶玫瑰线有三片相同的叶子，因此整个图形的面积为 $S = 3 \times S_{\text{一片}} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\pi/3} \sin^2(3\theta) \, d\theta$。 本步骤的核心是正确代入曲线方程并确定积分限。注意积分限的确定依据是 $r$ 从 $0$ 开始又回到 $0$ 的一个完整循环，对于 $\sin 3\theta$，当 $3\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$ 时，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/3$，正好对应一片叶子。

为了简化积分计算，我们进行变量代换。令 $u = 3\theta$，则 $\theta = \frac{u}{3}$，从而微分 $d\theta = \frac{1}{3} du$。同时需要更新积分上下限：当 $\theta = 0$ 时，$u = 0$；当 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 时，$u = \pi$。将上述代换代入原积分表达式 $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/3} \sin^2(3\theta) \, d\theta$ 中，得到： $$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin^2 u \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{6} \int_{0}^{\pi} \sin^2 u \, du.$$ 这样，原来的积分被转化为一个关于 $u$ 的简单积分，被积函数仅为 $\sin^2 u$，积分区间为 $[0, \pi]$。接下来可以利用三角恒等式 $\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$ 进一步化简，或者直接利用对称性计算该定积分。

本步骤需要计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 u \, du$。首先，利用三角恒等式将 $\sin^2 u$ 降幂：$\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$。于是积分化为： $$\int_{0}^{\pi} \sin^2 u \, du = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2u}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2u) \, du.$$ 分别计算两项：$\int_{0}^{\pi} 1 \, du = \pi$，$\int_{0}^{\pi} \cos 2u \, du = \left. \frac{\sin 2u}{2} \right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin 2\pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} = 0$。因此： $$\frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2}.$$ 另一种常用方法是直接使用公式 $\int \sin^2 u \, du = \frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} + C$，代入上下限： $$\left[ \frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} \right) - \left( 0 - \frac{\sin 0}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 = \frac{\pi}{2}.$$ 两种方法结果一致，得到 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 u \, du = \frac{\pi}{2}$。

在前面的步骤中，我们已经将面积表达式转化为定积分并完成了积分计算，得到积分结果为 $\frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{2}$。现在只需进行简单的乘法运算即可得到最终面积。 计算过程如下： $$ S = \frac{1}{6} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} $$ 因此，所求图形的面积为 $\frac{\pi}{12}$。 为了验证结果的正确性，我们可以从量纲和数值上进行简单检查。由于被积函数和积分区间均为正，面积应为正数，$\frac{\pi}{12} \approx 0.2618$，符合预期。此外，该结果与常见旋转体或曲线围成面积的数量级一致，进一步确认了计算的合理性。 最终答案：$\boxed{\dfrac{\pi}{12}}$