2022年考研数学二第5题

首先将积分拆分为两部分： $$ I = \int_0^1 \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \, dx = \int_0^{1/2} \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \, dx + \int_{1/2}^1 \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \, dx = I_1 + I_2. $$ **分析 $I_1$ 在 $x \to 0^+$ 处的敛散性**： 当 $x \to 0^+$ 时，$(1-x)^{-q} \to 1$，因此被积函数的行为主要由 $x^{p-1}$ 决定。即 $$ \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \sim x^{p-1}, \quad x \to 0^+. $$ 由 $p$-积分的判别法，$\int_0^{1/2} x^{p-1} \, dx$ 在 $x=0$ 处收敛当且仅当 $p-1 > -1$，即 $p > 0$。因此 $I_1$ 收敛的充要条件是 $p > 0$。 **分析 $I_2$ 在 $x \to 1^-$ 处的敛散性**： 令 $t = 1 - x$，则当 $x \to 1^-$ 时 $t \to 0^+$。此时 $x = 1 - t$，$x^{p-1} = (1-t)^{p-1} \to 1$（当 $p-1 \geq 0$ 时趋于1，当 $p-1 < 0$ 时趋于无穷，但此处只需考虑主部）。更精确地，$(1-t)^{p-1} \sim 1$（当 $p-1 > 0$ 时）或 $(1-t)^{p-1} \sim 1$（当 $p-1 = 0$ 时）或 $(1-t)^{p-1} \sim 1$（当 $p-1 < 0$ 时，但此时 $x^{p-1}$ 在 $x=1$ 处有限，因为 $x=1$ 不是奇点）。实际上，$x^{p-1}$ 在 $x=1$ 处是有限的（除非 $p-1 < 0$ 导致 $x=0$ 处发散，但此处 $x$ 接近1，$x^{p-1}$ 趋于 $1^{p-1}=1$，总是有限的）。因此被积函数在 $x \to 1^-$ 时的行为主要由 $(1-x)^{-q}$ 决定： $$ \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \sim \frac{1}{(1-x)^{q}}, \quad x \to 1^-. $$ 换元 $t = 1-x$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t: 1/2 \to 0$，因此 $$ I_2 = \int_{1/2}^1 \frac{x^{p-1}}{(1-x)^{q}} \, dx = \int_{0}^{1/2} \frac{(1-t)^{p-1}}{t^{q}} \, dt. $$ 当 $t \to 0^+$ 时，$(1-t)^{p-1} \to 1$，故 $$ \frac{(1-t)^{p-1}}{t^{q}} \sim \frac{1}{t^{q}}, \quad t \to 0^+. $$ 由 $p$-积分判别法，$\int_0^{1/2} t^{-q} \, dt$ 在 $t=0$ 处收敛当且仅当 $-q > -1$，即 $q < 1$。因此 $I_2$ 收敛的充要条件是 $q < 1$。 **综合**：原积分 $I$ 收敛当且仅当 $p > 0$ 且 $q < 1$。

首先分析积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{(1-x)^{1-p}} \, dx$ 在 $x \to 0^+$ 和 $x \to 1^-$ 两端的收敛性。\n\n**1. 当 $x \to 0^+$ 时：**\n此时 $\ln x \to -\infty$，$1-x \to 1$，故被积函数的主部为 $\ln x$。更精确地，$\ln x$ 的增长速度慢于任何幂函数，因此收敛性取决于分母中的 $(1-x)^{1-p}$ 在 $x=0$ 处无奇点（因为 $1-x \approx 1$），所以主要奇点在 $x=0$ 处由 $\ln x$ 引起。实际上，$\int_0^{\delta} |\ln x| \, dx$ 收敛，但这里还有因子 $\frac{1}{(1-x)^{1-p}} \sim 1$，故 $x \to 0^+$ 时被积函数 $\sim \ln x$。由于 $\int_0^{\delta} \ln x \, dx$ 收敛（原函数为 $x\ln x - x$），因此 $x \to 0^+$ 端对任意 $p$ 均收敛？需重新审视：实际上 $\ln x$ 在 $0$ 处可积，但若分母有奇性则可能改变。这里 $(1-x)^{1-p}$ 在 $x=0$ 处非零，故 $x \to 0^+$ 端收敛对任意 $p$ 成立？但题目步骤概要指出需 $p<1$，这可能是由于将 $\ln x$ 与 $x^p$ 比较时产生的误解。正确分析：$x \to 0^+$ 时，$\ln x$ 比任何 $x^{-\varepsilon}$ 增长慢，但若分母 $(1-x)^{1-p}$ 在 $x=0$ 处为常数，则积分收敛与 $p$ 无关。然而，步骤概要中提及“被积函数~$\ln x / x^p$”，这暗示可能将 $(1-x)^{1-p}$ 误写为 $x^p$？实际上原积分分母为 $(1-x)^{1-p}$，在 $x=0$ 处 $(1-x)^{1-p} \to 1$，故 $x \to 0^+$ 时被积函数 $\sim \ln x$，积分收敛。但步骤概要却说收敛需 $p<1$，这可能是题目中分母实际为 $(1-x)^{p}$ 或 $x^p$ 的笔误？根据常见题型，此类积分通常形如 $\int_0^1 \frac{\ln x}{(1-x)^p} dx$。\n\n**2. 当 $x \to 1^-$ 时：**\n令 $t=1-x$，则 $x=1-t$，$dx=-dt$，$\ln x = \ln(1-t) \sim -t$（当 $t \to 0^+$）。被积函数变为 $\frac{\ln(1-t)}{t^{1-p}} \sim \frac{-t}{t^{1-p}} = -t^{p}$。因此 $x \to 1^-$ 时，被积函数 $\sim -(1-x)^p$。积分 $\int_0^{\delta} t^p \, dt$ 在 $t=0$ 处收敛当且仅当 $p > -1$。\n\n**3. 综合两端：**\n- $x \to 0^+$ 端：由于 $\ln x$ 可积，且分母无奇点，故对任意 $p$ 均收敛（实际上 $\int_0^{\delta} \ln x \, dx$ 收敛）。但若原题分母为 $x^p$，则 $x \to 0^+$ 时被积函数 $\sim \ln x / x^p$，收敛需 $p<1$。\n- $x \to 1^-$ 端：收敛需 $p > -1$。\n\n因此，若分母为 $(1-x)^{1-p}$，则 $p$ 需满足 $p > -1$；若分母为 $x^p$，则需 $p<1$ 且 $p>-1$，即 $-1

公式：x \to 1^- \text{时} \ln x \sim x-1, \text{被积函数} \sim -(1-x)^p, \int_0^\delta t^p dt \text{收敛} \iff p > -1

提示：注意两端分别用等价无穷小简化，再比较幂次判断收敛性。