2022年考研数学二第6题

为了判断选项A和B的正确性，我们尝试构造一个反例，使得数列$x_n$的极限不存在，但复合数列$\cos(\sin x_n)$和$\sin(\cos x_n)$的极限存在。 取数列$x_n$为交替取值：$x_n = (-1)^n$，即$x_1 = 1,\ x_2 = -1,\ x_3 = 1,\ x_4 = -1,\ \cdots$。显然，该数列不收敛（极限不存在），因为它在$1$和$-1$之间来回振荡。 现在考察$\cos(\sin x_n)$。由于$\sin x$是奇函数，且$\sin 1 = \sin(-1)$？实际上$\sin(-1) = -\sin 1$，但余弦函数是偶函数：$\cos(-\theta) = \cos\theta$。因此： - 当$x_n = 1$时，$\cos(\sin 1)$； - 当$x_n = -1$时，$\cos(\sin(-1)) = \cos(-\sin 1) = \cos(\sin 1)$。 所以无论$n$为奇数还是偶数，$\cos(\sin x_n)$恒等于同一个常数$\cos(\sin 1)$。因此数列$\{\cos(\sin x_n)\}$是常数列，极限存在且等于$\cos(\sin 1)$。 再考察$\sin(\cos x_n)$。由于$\cos x$是偶函数：$\cos 1 = \cos(-1)$，因此： - 当$x_n = 1$时，$\sin(\cos 1)$； - 当$x_n = -1$时，$\sin(\cos(-1)) = \sin(\cos 1)$。 所以$\sin(\cos x_n)$也恒等于常数$\sin(\cos 1)$，极限存在。 因此我们找到了一个反例：$x_n$无极限，但$\cos(\sin x_n)$和$\sin(\cos x_n)$都有极限。这说明选项A和B的结论（由复合数列极限存在推出$x_n$极限存在）不成立，故A、B错误。

分析C选项：设数列$x_n$满足$\sin x_n$收敛，问能否推出$x_n$收敛？ 首先，考虑函数$y=\sin x$在区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上的性质。在该区间内，$\sin x$是严格单调递增的连续函数，因此存在反函数$\arcsin y$，且$\arcsin y$也是连续函数。 若$\sin x_n$收敛，设其极限为$L$。由于$\sin x$的值域为$[-1,1]$，故$L\in[-1,1]$。但问题在于：$x_n$可能不在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$内，而$\sin x$是周期函数，周期为$2\pi$，且$\sin x = \sin(\pi - x)$，因此同一个正弦值对应无穷多个$x$值。例如，取$x_n = n\pi$，则$\sin x_n = 0$收敛，但$x_n$显然发散。 然而，题目中C选项的条件是“$\sin x_n$收敛”，并未限制$x_n$的范围。因此，即使$\sin x_n$收敛，$x_n$也可能发散。 但需注意：如果$\sin x_n$收敛，且$x_n$本身有界，那么能否推出$x_n$收敛？考虑有界数列$x_n$，例如$x_n = \frac{\pi}{2} + (-1)^n \cdot \frac{\pi}{2}$，则$\sin x_n$分别为$\sin(\pi)=0$和$\sin(0)=0$，收敛于0，但$x_n$不收敛。因此，即使有界，也不能保证$x_n$收敛。 实际上，要使$\sin x_n$收敛推出$x_n$收敛，需要附加条件：$x_n$的取值范围限制在$\sin x$的某个单调区间内（如$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$）。但C选项没有这个条件，所以条件不充分。 因此，C选项错误。

选项D：若数列 $\{\sin(\cos x_n)\}$ 与 $\{\cos x_n\}$ 都收敛，则 $\{x_n\}$ 必收敛。 分析：考虑函数 $f(t)=\sin t$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续且单调递增，因此 $\sin(\cos x_n)$ 与 $\cos x_n$ 的收敛性之间有密切联系。但关键在于 $\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是单调函数，且 $x_n$ 可以取不同的值使得 $\cos x_n$ 相同而 $x_n$ 不同。 构造反例：取 $x_n = \frac{\pi}{3}$ 当 $n$ 为奇数，$x_n = -\frac{\pi}{3}$ 当 $n$ 为偶数。则： - $\cos x_n = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ 对所有 $n$ 成立，故 $\{\cos x_n\}$ 收敛于 $\frac{1}{2}$。 - $\sin(\cos x_n) = \sin\left(\frac{1}{2}\right)$ 为常数，故 $\{\sin(\cos x_n)\}$ 收敛于 $\sin\left(\frac{1}{2}\right)$。 - 但 $\{x_n\}$ 在 $\frac{\pi}{3}$ 和 $-\frac{\pi}{3}$ 之间交替，显然不收敛。 因此，存在数列 $\{x_n\}$ 使得 $\{\sin(\cos x_n)\}$ 与 $\{\cos x_n\}$ 都收敛，但 $\{x_n\}$ 不收敛，故选项D错误。 最终结论：四个选项中，只有选项C正确。