2023年考研数学二第10题

设向量 $\gamma$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由向量组 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示。因此存在实数 $x, y, u, v$ 使得 $$ \gamma = x \alpha_1 + y \alpha_2 = u \beta_1 + v \beta_2. $$ 将等式移项，得到 $$ x \alpha_1 + y \alpha_2 - u \beta_1 - v \beta_2 = \mathbf{0}. $$ 这是一个关于向量 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 的线性组合等于零向量的等式。其中 $x, y, u, v$ 是待定系数。该等式是后续求解的基础，它将 $\gamma$ 同时由两组基表示的条件转化为一个齐次线性方程组。

设向量组 $\alpha_1=(1,2,3)^T$, $\alpha_2=(2,1,1)^T$, $\beta_1=(-2,-5,-9)^T$, $\beta_2=(-1,0,-1)^T$。由题意，$\beta_1,\beta_2$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，即存在实数 $x,y,u,v$ 使得： $$ \begin{cases} x\alpha_1 + y\alpha_2 = \beta_1 \\ u\alpha_1 + v\alpha_2 = \beta_2 \end{cases} $$ 将向量坐标代入，得到两个向量方程： $$ x\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-5\\-9\end{pmatrix}, \quad u\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + v\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix} $$ 分别写出每个分量对应的方程： 对于第一个方程： - 第一分量：$x + 2y = -2$ - 第二分量：$2x + y = -5$ - 第三分量：$3x + y = -9$ 对于第二个方程： - 第一分量：$u + 2v = -1$ - 第二分量：$2u + v = 0$ - 第三分量：$3u + v = -1$ 将常数项移到左边，得到齐次形式（即所有项归到一边）： $$ \begin{cases} x + 2y + 2u + v = 0 \\ 2x + y + 5u = 0 \\ 3x + y + 9u + v = 0 \end{cases} $$ 注意：这里将两个方程组合并为一个齐次线性方程组，其中未知数为 $x,y,u,v$，且常数项均为0。该方程组表示向量 $\beta_1,\beta_2$ 与 $\alpha_1,\alpha_2$ 之间的线性关系。

设方程组为齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，其中系数矩阵 $A$ 已由前两步给出。现对系数矩阵进行初等行变换，化为行最简形。 首先写出系数矩阵： $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 进行初等行变换： 1. 将第1行乘以 $-2$ 加到第2行，第1行加到第3行： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 2. 交换第2行与第3行（实际上第3行为零行，无需交换），得到行阶梯形。 3. 将第2行乘以 $1$ 加到第1行（实际上第2行第4列为1，第1行第4列为0，无需操作），得到行最简形： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 行最简形对应的方程组为： $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases}$$ 自由变量为 $x_2$ 和 $x_3$（因为主元对应的变量是 $x_1$ 和 $x_4$）。令 $x_2 = k_1$，$x_3 = k_2$，则 $x_1 = -2k_1 + k_2$，$x_4 = 0$。 基础解系由两个线性无关的解向量构成： 取 $k_1=1, k_2=0$ 得 $\boldsymbol{\xi}_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$； 取 $k_1=0, k_2=1$ 得 $\boldsymbol{\xi}_2 = (1, 0, 1, 0)^T$。 因此，基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$，$\boldsymbol{\xi}_2 = (1, 0, 1, 0)^T$。

由步骤3已知，$\gamma = u \beta_1 + v \beta_2$，其中$\beta_1 = (1, -1, 0)^T$，$\beta_2 = (1, 0, -1)^T$，且$u, v$为任意不全为零的常数。为了得到$\gamma$的一个具体方向向量，我们取一组非零解，例如令$u = 1$，$v = 0$（或任意其他非零组合）。代入表达式得： $$ \gamma = 1 \cdot \beta_1 + 0 \cdot \beta_2 = \beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ 因此，$\gamma$的一个方向向量为$(1, -1, 0)^T$。注意，若取$u=0, v=1$，则得到$\gamma = \beta_2 = (1, 0, -1)^T$，这也是一个合法的方向向量。实际上，任何非零线性组合$u\beta_1 + v\beta_2$（$u, v$不全为零）均可作为$\gamma$的方向向量，但通常我们取最简单的非零解，例如令$u=1, v=0$或$u=0, v=1$。 至此，我们得到了$\gamma$的一个具体表达式：$\gamma = (1, -1, 0)^T$（或等价地，$\gamma = k(1, -1, 0)^T$，$k \neq 0$）。

由前几步已知，曲线$\Gamma$在点$(1,1,1)$处的切向量方向为$\boldsymbol{\tau} = (1, -2, 1)$。因此，切线$L$的方向向量可取为$\boldsymbol{s} = (1, -2, 1)$。切线过点$(1,1,1)$，故其参数方程为： $$ \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = 1 - 2t, \\ z = 1 + t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$ 将参数方程写成向量形式： $$ \boldsymbol{r}(t) = (1,1,1) + t(1,-2,1). $$ 现在将四个选项中的直线方程化为参数形式，并与上述结果对比。 **选项A：** $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{1}$，其方向向量为$(1,-2,1)$，过点$(1,1,1)$，参数方程与所求一致。 **选项B：** $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{1}$，方向向量为$(1,2,1)$，与$(1,-2,1)$不同。 **选项C：** $\frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z+1}{1}$，过点$(-1,-1,-1)$，不是$(1,1,1)$。 **选项D：** $\frac{x+1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{1}$，方向向量为$(1,2,1)$，过点$(-1,-1,-1)$，均不符。 因此，正确选项为A。 验证：将点$(1,1,1)$代入选项A的方程，各分母为零，说明该点确实在直线上；方向向量$(1,-2,1)$与切向量一致，故选项A正确。