2023年考研数学二第11题

在极限计算中，当自变量$x$趋近于某一点（这里为$x\to 0$）时，若两个无穷小量$f(x)$与$g(x)$满足$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，记作$f(x)\sim g(x)\ (x\to 0)$。 本题已知条件为：当$x\to 0$时，$f(x)\sim g(x)$，即$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。这是后续所有推导的基础。 等价无穷小的定义是极限理论中的重要概念，它允许我们在求极限时用简单的无穷小替换复杂的无穷小，从而简化计算。但需要注意，替换必须在乘除运算中进行，加减运算中直接替换可能产生错误。 在本步骤中，我们仅需明确这一定义，并确认题目所给条件$f(x)\sim g(x)$等价于极限等式$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。后续步骤将利用此定义进行具体计算。

已知函数 $f(x) = \ln(1+x) + ax + bx^2$，我们需要将其在 $x=0$ 附近展开到二阶。首先，回忆 $\(\ln(1+x)\)$ 的泰勒展开式： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ 将上式代入 $f(x)$ 中，得到： $$f(x) = \left( x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) + ax + bx^2$$ 合并同类项： - 一次项：$x + ax = (a+1)x$ - 二次项：$-\frac{x^2}{2} + bx^2 = \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2$ - 高阶无穷小：$o(x^2)$ 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的二阶泰勒展开式为： $$f(x) = (a+1)x + \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2)$$ 这个展开式将用于后续步骤中分析函数的极值或拐点等性质。注意，展开到二阶已经足够，因为题目后续步骤可能涉及二阶导数或极值判定。

首先，我们需要将函数 $g(x) = e^{x^2} - \cos x$ 在 $x=0$ 附近展开到二阶。利用已知的泰勒展开式： 对于 $e^{x^2}$，令 $u = x^2$，则 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \cdots$，但这里我们只需要展开到二阶（即 $x^2$ 项），因此 $e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)$。 对于 $\cos x$，其泰勒展开为 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$，保留到二阶项得 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。 将这两个展开式代入 $g(x)$： $$g(x) = (1 + x^2 + o(x^2)) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)$$ 合并同类项： $$g(x) = 1 + x^2 - 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)$$ 因此，$g(x)$ 在 $x=0$ 附近的二阶泰勒展开为 $g(x) = \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)$。 注意：这里 $o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小量，在后续求极限或比较阶数时，该项可以忽略。

已知当$x\to 0$时，$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，即$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。由前几步展开结果： $$f(x)= (a+1)x + \left(b-\frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2), \quad g(x)= \frac{3}{2}x^2 + o(x^2).$$ 由于$g(x)$的最低阶项为$x^2$（系数$\frac{3}{2}$），而$f(x)$中出现了$x$项和$x^2$项。为使$f(x)/g(x)\to 1$，$f(x)$与$g(x)$的最低阶必须相同且系数比等于1。$g(x)$的最低阶为$x^2$，因此$f(x)$中不能含有比$x^2$更低阶的项，即$x$项的系数必须为零，否则$f(x)$的主部将是$x$的一次项，而$g(x)$的主部是$x^2$，此时$f(x)/g(x)$的极限将为无穷大或零，不可能等于1。故令$x$项系数为零： $$a+1=0.$$ 由此解得$a=-1$。 接下来，$f(x)$中$x^2$项的系数为$b-\frac{1}{2}$，$g(x)$中$x^2$项的系数为$\frac{3}{2}$。因为$f(x)$与$g(x)$等价无穷小，所以它们的最低阶项（即$x^2$项）的系数之比必须等于1： $$\frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=1.$$ 解此方程得$b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，即$b=2$。 因此，通过比较系数建立方程组： \begin{cases} a+1=0,\\ \dfrac{b-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=1. \end{cases} 解得$a=-1,\; b=2$。

由前一步得到的方程组： $$ \begin{cases} a+1=0 \\ \dfrac{b-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=1 \end{cases} $$ 首先解第一个方程： $$a+1=0$$ 移项得： $$a=-1$$ 接着解第二个方程： $$\frac{b-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=1$$ 两边同时乘以分母$\frac{3}{2}$： $$b-\frac{1}{2}=1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$ 移项得： $$b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ 因此得到： $$a=-1,\quad b=2$$ 最后计算$ab$： $$ab = (-1) \times 2 = -2$$ 验证：将$a=-1$和$b=2$代回原题条件，满足所有方程，结果正确。 故最终答案为： $$\boxed{-2}$$