2024年考研数学二第14题

首先观察函数 $f(x) = x^2 (e^x - 1)$ 的结构。它由两个因式相乘：一个是多项式 $x^2$，另一个是指数型函数 $e^x - 1$。由于需要计算 $f(x)$ 的五阶导数，且两个因式均为可导函数，乘积的高阶导数适合使用莱布尼茨公式（Leibniz rule）。莱布尼茨公式表述为： $$(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$$ 其中 $u = x^2$，$v = e^x - 1$。选择该公式的原因是：$x^2$ 的三阶及以上导数均为零，因此求和项中只有 $k=0,1,2$ 三项非零，大大简化计算。具体地，$u' = 2x$，$u'' = 2$，$u^{(3)} = 0$，$u^{(4)} = 0$，…；而 $v = e^x - 1$ 的各阶导数均为 $e^x$（因为 $e^x$ 的导数是自身，常数项 $-1$ 的导数为零）。因此，利用莱布尼茨公式计算 $f^{(5)}(x)$ 时，只需计算 $k=0,1,2$ 对应的三项，其余项为零。这样，我们确定了求导方法：应用莱布尼茨公式，并利用 $x^2$ 的高阶导数为零的特性来简化计算。

根据莱布尼茨公式，对于两个函数乘积的高阶导数，有： $$(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, u^{(k)} \, v^{(n-k)}$$ 本题中，令 $u(x) = x^2$，$v(x) = e^x - 1$，需要求 $f^{(5)}(x)$，即 $n=5$。 因此展开式为： $$f^{(5)}(x) = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot (x^2)^{(k)} \cdot (e^x - 1)^{(5-k)}$$ 其中组合数 $C_5^k = \frac{5!}{k!(5-k)!}$，具体值为： $C_5^0=1,\; C_5^1=5,\; C_5^2=10,\; C_5^3=10,\; C_5^4=5,\; C_5^5=1$。 接下来需要分别计算 $(x^2)^{(k)}$ 和 $(e^x-1)^{(5-k)}$。 对于 $u(x)=x^2$，其各阶导数为： - $k=0$：$(x^2)^{(0)} = x^2$ - $k=1$：$(x^2)' = 2x$ - $k=2$：$(x^2)'' = 2$ - $k \geq 3$：$(x^2)^{(k)} = 0$ 对于 $v(x)=e^x-1$，其各阶导数为： - 任意阶导数 $(e^x-1)^{(m)} = e^x$（当 $m \geq 1$ 时）， - 特别地，当 $m=0$ 时，$(e^x-1)^{(0)} = e^x-1$。 由于 $k \geq 3$ 时 $(x^2)^{(k)}=0$，所以求和只需保留 $k=0,1,2$ 三项，其余项均为0。因此展开式简化为： $$f^{(5)}(x) = C_5^0 \cdot x^2 \cdot (e^x-1)^{(5)} + C_5^1 \cdot 2x \cdot (e^x-1)^{(4)} + C_5^2 \cdot 2 \cdot (e^x-1)^{(3)}$$ 代入组合数值得： $$f^{(5)}(x) = 1 \cdot x^2 \cdot e^x + 5 \cdot 2x \cdot e^x + 10 \cdot 2 \cdot e^x$$ 即： $$f^{(5)}(x) = x^2 e^x + 10x e^x + 20 e^x$$ 整理得： $$f^{(5)}(x) = (x^2 + 10x + 20) e^x$$

在莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$ 中，令 $u = x^2$，$v = \ln(1+x)$，$n=5$。由于 $u = x^2$ 是二次多项式，其三阶及以上导数均为零，即当 $k \geq 3$ 时，$u^{(5-k)} = 0$。因此求和只需保留 $k=0,1,2$ 三项。 首先计算 $u = x^2$ 的各阶导数： - $u^{(0)} = x^2$（零阶导数即原函数） - $u' = 2x$（一阶导数） - $u'' = 2$（二阶导数） - $u^{(3)} = 0$，$u^{(4)} = 0$，$u^{(5)} = 0$（三阶及以上均为零） 于是莱布尼茨公式简化为： $$(x^2 \ln(1+x))^{(5)} = \sum_{k=0}^{2} C_5^k \, u^{(5-k)} \, v^{(k)}$$ 其中 $v^{(k)}$ 表示 $\ln(1+x)$ 的 $k$ 阶导数。 具体写出三项： - 当 $k=0$ 时：$C_5^0 \, u^{(5)} \, v^{(0)} = 1 \cdot 0 \cdot \ln(1+x) = 0$（因为 $u^{(5)}=0$） - 当 $k=1$ 时：$C_5^1 \, u^{(4)} \, v^{(1)} = 5 \cdot 0 \cdot v' = 0$（因为 $u^{(4)}=0$） - 当 $k=2$ 时：$C_5^2 \, u^{(3)} \, v^{(2)} = 10 \cdot 0 \cdot v'' = 0$（因为 $u^{(3)}=0$） 注意：这里 $u^{(5-k)}$ 的下标与 $k$ 对应，当 $k=0$ 时 $u^{(5)}=0$，$k=1$ 时 $u^{(4)}=0$，$k=2$ 时 $u^{(3)}=0$，因此这三项均为零。实际上，由于 $u$ 的最高阶非零导数是二阶，只有 $u^{(0)}, u^{(1)}, u^{(2)}$ 非零，对应到公式中需要 $5-k \leq 2$，即 $k \geq 3$，但 $k$ 最大为 $5$，所以非零项出现在 $k=3,4,5$。这里步骤目标是化简非零项，即明确哪些项需要保留，哪些项为零。 因此，最终非零项为 $k=3,4,5$ 三项，而 $k=0,1,2$ 三项均为零，可以省略。

本步骤的目标是计算函数 $f(x) = e^x - 1$ 的各阶导数。首先，我们知道指数函数 $e^x$ 的导数等于其自身，即 $\frac{d}{dx} e^x = e^x$。常数 $-1$ 的导数为 $0$。因此，一阶导数为： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x.$$ 接着，对一阶导数再次求导得到二阶导数： $$f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$ 类似地，三阶导数为： $$f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$ 四阶导数为： $$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$ 五阶导数为： $$f^{(5)}(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$ 由此可见，函数 $e^x - 1$ 的任意阶导数（一阶及以上）均为 $e^x$。特别地，在本题中我们需要用到 $f^{(5)}(x)$、$f^{(4)}(x)$ 和 $f^{(3)}(x)$，它们都等于 $e^x$。这一性质将用于后续步骤中计算泰勒展开或极限等运算。

根据莱布尼茨公式，对于函数 $f(x)=x^2 e^x$，其 $n$ 阶导数为： $$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} C(n,k) \cdot (x^2)^{(k)} \cdot (e^x)^{(n-k)}$$ 其中 $(e^x)^{(m)}=e^x$，$(x^2)^{(0)}=x^2$，$(x^2)^{(1)}=2x$，$(x^2)^{(2)}=2$，$(x^2)^{(k)}=0$（当 $k\geq 3$）。 本题要求 $f^{(5)}(x)$，因此 $n=5$。由于 $k$ 从 $0$ 到 $5$，但只有 $k=0,1,2$ 时 $(x^2)^{(k)}$ 非零，故： $$f^{(5)}(x)=C(5,0)\cdot x^2 \cdot e^x + C(5,1)\cdot 2x \cdot e^x + C(5,2)\cdot 2 \cdot e^x$$ 计算组合数：$C(5,0)=1$，$C(5,1)=5$，$C(5,2)=10$，代入得： $$f^{(5)}(x)=1\cdot x^2 e^x + 5\cdot 2x e^x + 10\cdot 2 e^x = x^2 e^x + 10x e^x + 20 e^x$$ 合并同类项，最终结果为： $$f^{(5)}(x)=e^x(x^2+10x+20)$$

本步骤的目标是计算函数$f(x)=x^2 e^x$在$x=1$处的五阶导数值$f^{(5)}(1)$。在前面的步骤中，我们已经通过莱布尼茨公式或逐次求导得到了$f^{(5)}(x)$的表达式： $$ f^{(5)}(x) = x^2 e^x + 10x e^x + 20 e^x $$ 现在将$x=1$代入该表达式。首先计算各项： - 第一项：$x^2 e^x$，代入$x=1$得$1^2 \cdot e^1 = 1 \cdot e = e$。 - 第二项：$10x e^x$，代入$x=1$得$10 \cdot 1 \cdot e = 10e$。 - 第三项：$20 e^x$，代入$x=1$得$20 \cdot e = 20e$。 因此， $$ f^{(5)}(1) = e + 10e + 20e = (1+10+20)e = 31e $$ 最终结果为$31e$。验证：由于$e \approx 2.71828$，$31e \approx 84.26668$，数值合理。至此，题目求解完成。