2024年考研数学二第15题

首先，我们需要明确平均速度的定义。在物理学中，质点在一段时间内的平均速度等于该段时间内的位移除以所经历的时间。对于直线运动，若速度函数为$v(t)$，则从时刻$t=0$到$t=3$的位移为速度函数在时间区间上的定积分：$\int_0^3 v(t)\,dt$。因此，平均速度$\bar{v}$的计算公式为： $$ \bar{v} = \frac{\text{位移}}{\text{时间间隔}} = \frac{\int_0^3 v(t)\,dt}{3}. $$ 题目中已给出平均速度的数值为$\frac{5}{2}$，即 $$ \frac{\int_0^3 v(t)\,dt}{3} = \frac{5}{2}. $$ 由此可得位移的积分值为 $$ \int_0^3 v(t)\,dt = 3 \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2}. $$ 这个关系式是后续求解未知参数的基础。注意，平均速度公式中的分子是位移（即净位移），不是路程，因此积分时速度的正负会直接影响位移的大小。在本题中，平均速度为正，说明整体上质点向正方向移动。

由题意，物体在区间 $[0,3]$ 上的平均速度为 $\frac{5}{2}$。根据平均速度的定义，平均速度等于位移除以时间，即 $\bar{v} = \frac{1}{3-0} \int_0^3 v(t) \, dt$。已知速度函数为 $v(t) = t + k \sin(\pi t)$，代入得： $$ \bar{v} = \frac{1}{3} \int_0^3 (t + k \sin \pi t) \, dt = \frac{5}{2}. $$ 两边同时乘以 $3$，得到定积分方程： $$ \int_0^3 (t + k \sin \pi t) \, dt = \frac{15}{2}. $$ 接下来，我们分别计算两个部分的积分。首先计算 $\int_0^3 t \, dt$： $$ \int_0^3 t \, dt = \left. \frac{1}{2} t^2 \right|_0^3 = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}. $$ 然后计算 $\int_0^3 \sin(\pi t) \, dt$： $$ \int_0^3 \sin(\pi t) \, dt = \left. -\frac{1}{\pi} \cos(\pi t) \right|_0^3 = -\frac{1}{\pi} (\cos 3\pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi} ((-1) - 1) = -\frac{1}{\pi} \cdot (-2) = \frac{2}{\pi}. $$ 因此，原积分可写为： $$ \frac{9}{2} + k \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{15}{2}. $$ 这就是由平均速度条件转化得到的关于 $k$ 的定积分方程。

本步骤需要计算两个定积分：$\int_0^3 t \, dt$ 和 $\int_0^3 k \sin(\pi t) \, dt$。 首先计算第一个积分： $$ \int_0^3 t \, dt = \left. \frac{1}{2} t^2 \right|_0^3 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{9}{2}. $$ 接着计算第二个积分。注意 $k$ 是常数，可以提到积分号外： $$ \int_0^3 k \sin(\pi t) \, dt = k \int_0^3 \sin(\pi t) \, dt. $$ 求 $\sin(\pi t)$ 的原函数。令 $u = \pi t$，则 $du = \pi \, dt$，$dt = \frac{du}{\pi}$，但更直接的方法是使用公式 $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$，这里 $a = \pi$，所以： $$ \int \sin(\pi t) \, dt = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi t) + C. $$ 因此： $$ k \int_0^3 \sin(\pi t) \, dt = k \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi t) \right]_0^3 = -\frac{k}{\pi} \left( \cos(3\pi) - \cos(0) \right). $$ 计算 $\cos(3\pi)$ 和 $\cos(0)$： - $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos\pi = -1$。 - $\cos(0) = 1$。 代入得： $$ -\frac{k}{\pi} \left( (-1) - 1 \right) = -\frac{k}{\pi} \cdot (-2) = \frac{2k}{\pi}. $$ 所以两个定积分的结果分别为 $\frac{9}{2}$ 和 $\frac{2k}{\pi}$。

将已知条件代入方程。由前几步已得，原方程经过化简后为： $$ \frac{9}{2} + \frac{2k}{\pi} = \frac{15}{2} $$ 两边同时减去 $\frac{9}{2}$，得到： $$ \frac{2k}{\pi} = \frac{15}{2} - \frac{9}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ 即： $$ \frac{2k}{\pi} = 3 $$ 两边同时乘以 $\pi$，得： $$ 2k = 3\pi $$ 两边同时除以 $2$，解得： $$ k = \frac{3\pi}{2} $$ 至此，我们得到了参数 $k$ 的值。验证：将 $k = \frac{3\pi}{2}$ 代回原方程，左边为 $\frac{9}{2} + \frac{2}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{2} + \frac{6}{2} = \frac{15}{2}$，与右边相等，说明解正确。因此，最终答案为 $k = \frac{3\pi}{2}$。