中册 4.1 不定积分计算 第1题
📝 题目
1．计算下列积分．
（1） $\int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x=\int \sqrt{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{2} \int\left|\cos \frac{x}{2}\right| \mathrm{d} x= \pm 2 \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}+C$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} \tan x=\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{\tan x}{2}\right)+C$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}=16 \int \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{4} 2 x}=-8 \int\left(1+\cot ^{2} 2 x\right) \mathrm{d} \cot 2 x=-8 \cot 2 x-\frac{8}{3} \cot ^{3} 2 x+C$ ．
（4）方法 1： $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}=\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \ln |\sin x+\cos x|+C .
$$
方法 2：记 $\displaystyle I=\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x, J=\int \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则
$$
I-J=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{d}(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}=\ln |\cos x+\sin x|+C, I+J \cdot=\int \mathrm{d} x=x+C .
$$
所以 $\displaystyle \quad I=\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x=\frac{x+\ln |\cos x+\sin x|}{2}+C$ ，
$$
J=\int \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x=\frac{x-\ln |\cos x+\sin x|}{2}+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：化简被积函数
利用半角公式：$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$，所以 $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$。因此 $\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2} |\cos\frac{x}{2}|$。
公式：$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$
提示：注意开方后要加绝对值，因为 $\cos\frac{x}{2}$ 可能为负。
步骤 2/10
目标：积分并处理绝对值
原积分化为 $\sqrt{2} \int |\cos\frac{x}{2}| \, dx$。当 $\cos\frac{x}{2} \geq 0$ 时，$|\cos\frac{x}{2}| = \cos\frac{x}{2}$，积分得 $2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + C$；当 $\cos\frac{x}{2} < 0$ 时，$|\cos\frac{x}{2}| = -\cos\frac{x}{2}$，积分得 $-2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + C$。通常结果写为 $\pm 2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + C$。
公式：$\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C$
提示：绝对值处理时，积分结果需分段表示，但通常用 $\pm$ 简化。
步骤 3/10
目标：换元积分
令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x dx$，原积分化为 $\int \frac{1}{4+u^2} du$。
公式：$d(\tan x) = \sec^2 x dx$
提示：注意 $\sec^2 x$ 与 $du$ 的对应关系。
步骤 4/10
目标：计算标准积分
利用公式 $\int \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C$，其中 $a=2$，得 $\frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2} + C$。回代 $u=\tan x$，得 $\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{\tan x}{2}\right) + C$。
公式：$\int \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C$
提示：注意 $a$ 的取值，此处 $a=2$。
步骤 5/10
目标：化简被积函数
利用恒等式 $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$，则 $\cos^4 x \sin^4 x = (\cos x \sin x)^4 = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^4 = \frac{1}{16}\sin^4 2x$。因此原积分化为 $16 \int \frac{dx}{\sin^4 2x}$。
公式：$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
提示：注意幂次运算，$\sin^4 2x$ 是 $\sin(2x)$ 的四次方。
步骤 6/10
目标：换元并化简
令 $u = \cot 2x$，则 $du = -2\csc^2 2x dx$，且 $\csc^2 2x = 1+\cot^2 2x = 1+u^2$。又 $\frac{1}{\sin^4 2x} = \csc^4 2x = \csc^2 2x \cdot \csc^2 2x = (1+u^2)\csc^2 2x$。所以 $\int \frac{dx}{\sin^4 2x} = \int (1+u^2) \cdot \csc^2 2x dx = \int (1+u^2) \cdot \left(-\frac{1}{2} du\right) = -\frac{1}{2} \int (1+u^2) du$。
公式：$d(\cot x) = -\csc^2 x dx$
提示：注意 $dx$ 与 $du$ 的转换系数 $-\frac{1}{2}$。
步骤 7/10
目标：积分并回代
积分得 $-\frac{1}{2} \left( u + \frac{u^3}{3} \right) + C = -\frac{1}{2}u - \frac{1}{6}u^3 + C$。乘以之前的系数16，得 $16 \left( -\frac{1}{2}u - \frac{1}{6}u^3 \right) + C = -8u - \frac{8}{3}u^3 + C$。回代 $u = \cot 2x$，得 $-8\cot 2x - \frac{8}{3}\cot^3 2x + C$。
公式：$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$
提示：注意系数相乘时不要遗漏。
步骤 8/10
目标：化简被积函数
将 $\frac{1}{1+\tan x}$ 分子分母同乘 $\cos x$，得 $\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}$。
公式：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
提示：注意 $\cos x$ 可能为零，但积分区间通常避开这些点。
步骤 9/10
目标：拆分积分
考虑 $I = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$，同时构造 $J = \int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} dx$。则 $I+J = \int dx = x + C$，$I-J = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx = \int \frac{d(\cos x + \sin x)}{\cos x + \sin x} = \ln|\cos x + \sin x| + C$。
公式：$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$
提示：注意 $I-J$ 的分子是分母的导数。
步骤 10/10
目标：解出 I
由 $I+J = x$ 和 $I-J = \ln|\cos x + \sin x|$，两式相加得 $2I = x + \ln|\cos x + \sin x|$，所以 $I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln|\cos x + \sin x| + C$。
公式：解线性方程组
提示：注意常数 $C$ 的合并。
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