中册 4.1 不定积分计算 第2题
📝 题目
2．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=\cos x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x & =-\int \frac{\cos x\left(1-\cos ^{2} x\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d}(\cos x)=\int \frac{t\left(t^{2}-1\right)}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t=\int \frac{t\left(1+t^{2}\right)-2 t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t \\
& =\int\left(t-\frac{2 t}{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t=\frac{t^{2}}{2}-\ln \left(1+t^{2}\right)+C=\frac{1}{2} \cos ^{2} x-\ln \left(1+\cos ^{2} x\right)+C .
\end{aligned}
$$
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=\int \frac{\sin x \cos ^{2} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d}(\sin x)=\int \frac{\sin x\left(1-\sin ^{2} x\right)}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d}(\sin x)=\frac{1}{2} \int \frac{1-\sin ^{2} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d}\left(\sin ^{2} x\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{2} \int \frac{2-\left(1+\sin ^{2} x\right)}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d}\left(\sin ^{2} x\right)=\frac{1}{2} \int\left(\frac{2}{1+\sin ^{2} x}-1\right) \mathrm{d}\left(\sin ^{2} x\right) \\
& =\int \frac{1}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d}\left(1+\sin ^{2} x\right)-\frac{1}{2} \int \mathrm{~d}\left(\sin ^{2} x\right)=\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)-\frac{1}{2} \sin ^{2} x+C .
\end{aligned}
$$
（3）令 $t=\tan x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} & =\int \frac{\sec ^{2} x \mathrm{~d} x}{a^{2} \tan ^{2} x+b^{2}}=\int \frac{\mathrm{d}(\tan x)}{a^{2} \tan ^{2} x+b^{2}}=\int \frac{\mathrm{d} t}{a^{2} t^{2}+b^{2}}=\frac{1}{a} \int \frac{\mathrm{~d}(a t)}{(a t)^{2}+b^{2}} \\
& =\frac{1}{a b} \arctan \frac{a t}{b}+C=\frac{1}{a b} \arctan \left(\frac{a \tan x}{b}\right)+C .
\end{aligned}
$$
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}=\int \frac{\cos x \mathrm{~d} x}{\sin x(1+\cos x)}=-\int \frac{\cos x \mathrm{~d} \cos x}{\left(1-\cos ^{2} x\right)(1+\cos x)}$
$$
\begin{aligned}
& =-\frac{1}{2} \int \frac{(1+\cos x)-(1-\cos x)}{\left(1-\cos ^{2} x\right)(1+\cos x)} d \cos x=-\frac{1}{2} \int \frac{d \cos x}{1-\cos ^{2} x}+\frac{1}{2} \int \frac{d \cos x}{(1+\cos x)^{2}} \\
& =\frac{1}{4} \ln \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|-\frac{1}{2(1+\cos x)}+C=\frac{1}{2} \ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4} \tan ^{2} \frac{x}{2}+C .
\end{aligned}
$$
（5）令 $t=\cos x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x} & =\int \frac{\sin x}{\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\int \frac{1}{\left(2 t^{2}-1\right)\left(1-t^{2}\right)} \mathrm{d} t \\
& =\int \frac{1}{t^{2}-1} \mathrm{~d} t-\sqrt{2} \int \frac{1}{(\sqrt{2} t)^{2}-1} \mathrm{~d}(\sqrt{2} t)=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|-\sqrt{2} \ln \left|\frac{\sqrt{2} t-1}{\sqrt{2} t+1}\right|+C \\
& =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|-\sqrt{2} \ln \left|\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}\right|+C .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元化简积分
令 $t = \cos x$，则 $\mathrm{d}t = -\sin x \, \mathrm{d}x$，且 $\sin^2 x = 1 - t^2$。原积分化为：
$$\int \frac{\cos x \sin^3 x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = -\int \frac{t (1-t^2)}{1+t^2} \mathrm{d}t = \int \frac{t(t^2-1)}{1+t^2} \mathrm{d}t.$$
公式：$\sin^2 x = 1-\cos^2 x$
提示：注意负号的处理，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t/\sin x$，但这里直接代入$\sin x \mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$。
步骤 2/4
目标：拆分被积函数
将分子 $t(t^2-1)$ 写成 $t(1+t^2) - 2t$，则：
$$\int \frac{t(t^2-1)}{1+t^2} \mathrm{d}t = \int \left( t - \frac{2t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t.$$
公式：多项式除法或配凑
提示：拆分时注意符号，$t(t^2-1) = t^3 - t = t(1+t^2) - 2t$。
步骤 3/4
目标：积分计算
分别积分：
$$\int t \, \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2}, \quad \int \frac{2t}{1+t^2} \mathrm{d}t = \ln(1+t^2).$$
所以结果为：
$$\frac{t^2}{2} - \ln(1+t^2) + C.$$
公式：$\int \frac{f'(t)}{f(t)} \mathrm{d}t = \ln|f(t)|+C$
提示：注意绝对值，但 $1+t^2>0$，可省略。
步骤 4/4
目标：回代变量
将 $t = \cos x$ 代回：
$$\frac{1}{2} \cos^2 x - \ln(1+\cos^2 x) + C.$$
提示：最终结果中 $\cos^2 x$ 的系数为 $\frac{1}{2}$。
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