中册 4.1 不定积分计算 第4题
📝 题目
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x=\int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x-\int \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} \arctan ^{2} x-\int \arctan x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =-\frac{1}{2} \arctan ^{2} x-\frac{1}{x} \arctan x+\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{1}{2} \arctan ^{2} x-\frac{1}{x} \arctan x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d}\left(x^{2}\right) \\
& =-\frac{\arctan x}{x}-\frac{1}{2} \arctan ^{2} x+\frac{1}{2} \ln \frac{x^{2}}{1+x^{2}}+C .
\end{aligned}
$$
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x=2 \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d}(\sqrt{x})$
$$
=2 \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d}(\arctan \sqrt{x})=\arctan ^{2} \sqrt{x}+C .
$$
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\int \arctan x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\arctan x}{x}+\int \frac{1}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$
$$
=-\frac{\arctan x}{x}+\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x=-\frac{\arctan x}{x}+\ln |x|-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+C .
$$
（4）方法 1 ：令 $u=\mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=\int \frac{\arctan u}{u^{2}} \mathrm{~d} u=-\frac{\arctan u}{u}+\ln |u|-\frac{1}{2} \ln \left(1+u^{2}\right)+C \\
& =-\mathrm{e}^{-x} \arctan \mathrm{e}^{x}+x-\frac{1}{2} \ln \left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)+C
\end{aligned}
$$
方法 2： $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=-\mathrm{e}^{-x} \arctan \mathrm{e}^{x}+\int \mathrm{e}^{-x} \cdot \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x=-\mathrm{e}^{-x} \arctan \mathrm{e}^{x}+\int \frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
又
$$
\begin{gathered}
\int \frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x \xlongequal{\mathrm{e}^{2}=1} \int \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{1}{t} \mathrm{~d} t=\int \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}} \cdot t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t^{2} \\
=\frac{1}{2} \ln \frac{t^{2}}{1+t^{2}}+C=x-\frac{1}{2} \ln \left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)+C
\end{gathered}
$$
所以 $\displaystyle \quad \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=-\mathrm{e}^{-x} \arctan \mathrm{e}^{x}+x-\frac{1}{2} \ln \left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)+C$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分被积函数
利用部分分式分解：$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$，则原积分化为
$$\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx - \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx.$$
公式：$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
提示：注意部分分式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：计算第二个积分
注意到 $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \int \arctan x \, d(\arctan x) = \frac{1}{2} \arctan^2 x + C$。
公式：$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
提示：此处使用了凑微分法，注意 $d(\arctan x) = \frac{dx}{1+x^2}$。
步骤 3/5
目标：处理第一个积分：分部积分
对 $\int \frac{\arctan x}{x^2} dx$ 使用分部积分，令 $u = \arctan x$，$dv = \frac{dx}{x^2}$，则 $du = \frac{dx}{1+x^2}$，$v = -\frac{1}{x}$。于是
$$\int \frac{\arctan x}{x^2} dx = -\frac{\arctan x}{x} + \int \frac{1}{x(1+x^2)} dx.$$
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时，注意 $v$ 的符号，$\int x^{-2} dx = -x^{-1}$。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分
对 $\int \frac{1}{x(1+x^2)} dx$ 进行部分分式分解：$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$，则
$$\int \frac{1}{x(1+x^2)} dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C.$$
公式：$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$
提示：注意 $\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$，不要忘记系数。
步骤 5/5
目标：合并结果
将各部分结果合并：
$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)} dx = \left( -\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right) - \frac{1}{2} \arctan^2 x + C.$$
整理得
$$-\frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{2} \arctan^2 x + \ln \frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} + C.$$
提示：注意常数 $C$ 的合并，最终结果可化简为 $\ln \frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}$。
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