中册 4.1 不定积分计算 第5题
📝 题目
5．求下列积分．
（1） $\int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \arctan 2 x \mathrm{~d}(2 x)=\frac{1}{2}\left[2 x \arctan 2 x-2 \int \frac{2 x}{1+(2 x)^{2}} \mathrm{~d} x\right]$
$$
=x \arctan 2 x-\ln \left(1+(2 x)^{2}\right)+C=x \arctan 2 x-\ln \left(1+4 x^{2}\right)+C .
$$
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \arctan x \mathrm{~d}\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2} x^{2} \arctan x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} x^{2} \arctan x-\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$
$$
=\frac{1}{2} x^{2} \arctan x-\frac{1}{2}(x-\arctan x)+C=\frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) \arctan x-\frac{1}{2} x+C .
$$
（3）令 $t=\sqrt{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x & =\int \arctan t \mathrm{~d}\left(t^{2}+1\right)=\left(t^{2}+1\right) \arctan t-\int \mathrm{d} t \\
& =\left(t^{2}+1\right) \arctan t-t+C=(x+1) \arctan \sqrt{x}-\sqrt{x}+C
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：第一题：分部积分准备
令 $u = \arctan 2x$, $dv = dx$，则 $du = \frac{2}{1+4x^2} dx$, $v = x$。但直接分部积分较复杂，先凑微分：$\int \arctan 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \arctan 2x \, d(2x)$。
公式：$\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)$
提示：注意凑微分时系数要正确，$d(2x)=2dx$，所以乘以$\frac{1}{2}$。
步骤 2/8
目标：第一题：分部积分
令 $t=2x$，则 $\frac{1}{2} \int \arctan t \, dt$。使用分部积分：$\int \arctan t \, dt = t \arctan t - \int \frac{t}{1+t^2} dt$。所以原式 $= \frac{1}{2} \left( t \arctan t - \int \frac{t}{1+t^2} dt \right)$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，其中 $u=\arctan t$, $dv=dt$
提示：分部积分时，$\arctan t$ 的导数为 $\frac{1}{1+t^2}$，注意不要写错。
步骤 3/8
目标：第一题：计算积分并回代
计算 $\int \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C$。所以原式 $= \frac{1}{2} \left( t \arctan t - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right) + C = \frac{t}{2} \arctan t - \frac{1}{4} \ln(1+t^2) + C$。回代 $t=2x$ 得 $x \arctan 2x - \frac{1}{4} \ln(1+4x^2) + C$。注意答案中 $\ln$ 系数为 $1$，检查发现：$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，但答案写为 $\ln(1+4x^2)$，系数应为 $1$？实际上 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$，但答案中 $\ln$ 前系数为 $1$，说明有误。重新计算：$\frac{1}{2} \int \arctan t \, dt = \frac{1}{2} \left( t \arctan t - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right) = \frac{t}{2} \arctan t - \frac{1}{4} \ln(1+t^2)$。但答案给出 $x \arctan 2x - \ln(1+4x^2)$，系数不同。检查原答案：$\frac{1}{2}[2x \arctan 2x - 2 \int \frac{2x}{1+(2x)^2} dx] = x \arctan 2x - \int \frac{2x}{1+4x^2} dx$，而 $\int \frac{2x}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \ln(1+4x^2)$，所以结果为 $x \arctan 2x - \frac{1}{4} \ln(1+4x^2) + C$。但原答案写为 $\ln(1+4x^2)$，可能漏了系数。此处按正确计算给出。
公式：$\int \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C$
提示：注意系数，$\int \frac{2x}{1+4x^2} dx = \frac{1}{4} \ln(1+4x^2)$，不要漏掉 $\frac{1}{4}$。
步骤 4/8
目标：第二题：分部积分准备
令 $u = \arctan x$, $dv = x \, dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。所以 $\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：选择 $u$ 和 $dv$ 时，$\arctan x$ 的导数简单，所以作为 $u$。
步骤 5/8
目标：第二题：化简被积函数
计算 $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = x - \arctan x + C$。
公式：$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$
提示：注意多项式除法，$x^2$ 除以 $1+x^2$ 商为 $1$，余数为 $-1$。
步骤 6/8
目标：第二题：合并结果
代入得 $\frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} (x - \arctan x) + C = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$。
公式：无
提示：合并同类项时注意 $\arctan x$ 的系数。
步骤 7/8
目标：第三题：换元
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$, $dx = 2t \, dt$。原积分 $\int \arctan \sqrt{x} \, dx = \int \arctan t \cdot 2t \, dt$。
公式：换元公式 $dx = 2t \, dt$
提示：注意 $dx$ 的表达式，不要漏掉 $2t$。
步骤 8/8
目标：第三题：分部积分
计算 $\int 2t \arctan t \, dt$。令 $u = \arctan t$, $dv = 2t \, dt$，则 $du = \frac{1}{1+t^2} dt$, $v = t^2$。所以 $\int 2t \arctan t \, dt = t^2 \arctan t - \int \frac{t^2}{1+t^2} dt$。而 $\int \frac{t^2}{1+t^2} dt = \int \left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right) dt = t - \arctan t + C$。所以原式 $= t^2 \arctan t - (t - \arctan t) + C = (t^2+1)\arctan t - t + C$。回代 $t=\sqrt{x}$ 得 $(x+1)\arctan \sqrt{x} - \sqrt{x} + C$。
公式：分部积分公式
提示：注意 $v = t^2$ 而不是 $t^2+1$，但答案中写为 $d(t^2+1)$ 是等价的，因为常数微分不影响。
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