中册 4.1 不定积分计算 第6题
📝 题目
6．求下列积分．
（1） $\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=\sqrt{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x & =2 \int t^{2} \sin t \mathrm{~d} t=-2 \int t^{2} \mathrm{~d}(\cos t)=-2 t^{2} \cos t+4 \int t \cos t \mathrm{~d} t=-2 t^{2} \cos t+4 \int t \mathrm{~d} \sin t \\
& =-2 t^{2} \cos t+4 t \sin t+4 \cos t=(4-2 x) \cos \sqrt{x}+4 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}+C
\end{aligned}
$$
（2）令 $t=\sqrt{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x & =\int 2 t \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\int t(1+\cos 2 t) \mathrm{d} t=\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2} \int t \mathrm{~d} \sin 2 t \\
& =\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(t \sin 2 t-\int \sin 2 t \mathrm{~d} t\right)=\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(t \sin 2 t+\frac{1}{2} \cos 2 t\right)+C \\
& =\frac{1}{4}(2 x+2 \sqrt{x} \sin 2 \sqrt{x}+\cos 2 \sqrt{x})+C
\end{aligned}
$$
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int x[\sin (a-b) x+\sin (a+b) x] \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d}\left(-\frac{\cos (a-b) x}{a-b}-\frac{\cos (a+b) x}{a+b}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{2} x\left(-\frac{\cos (a-b) x}{a-b}-\frac{\cos (a+b) x}{a+b}\right)-\frac{1}{2} \int\left(-\frac{\cos (a-b) x}{a-b}-\frac{\cos (a+b) x}{a+b}\right) d x \\
& =\frac{1}{2} x\left(-\frac{\cos (a-b) x}{a-b}-\frac{\cos (a+b) x}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\sin (a-b) x}{(a-b)^{2}}+\frac{\sin (a+b) x}{(a+b)^{2}}\right)+C
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：第一题：换元简化积分
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$，原积分化为 $\int \sqrt{x} \sin\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \int t \cdot \sin t \cdot 2t\,\mathrm{d}t = 2\int t^2 \sin t\,\mathrm{d}t$。
公式：换元积分法：$\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u)\,\mathrm{d}u$
提示：注意 $\mathrm{d}x$ 的替换，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$，不要漏掉因子2。
步骤 2/8
目标：第一题：分部积分处理 $t^2\sin t$
对 $2\int t^2 \sin t\,\mathrm{d}t$ 使用分部积分：令 $u = t^2$，$\mathrm{d}v = \sin t\,\mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d}u = 2t\,\mathrm{d}t$，$v = -\cos t$。于是 $2\int t^2 \sin t\,\mathrm{d}t = 2\left(-t^2\cos t + \int 2t\cos t\,\mathrm{d}t\right) = -2t^2\cos t + 4\int t\cos t\,\mathrm{d}t$。
公式：分部积分公式：$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$
提示：分部积分时注意符号，$\int \sin t\,\mathrm{d}t = -\cos t$，不要忘记负号。
步骤 3/8
目标：第一题：再次分部积分并回代
对 $4\int t\cos t\,\mathrm{d}t$ 再次分部积分：令 $u = t$，$\mathrm{d}v = \cos t\,\mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}t$，$v = \sin t$。于是 $4\int t\cos t\,\mathrm{d}t = 4\left(t\sin t - \int \sin t\,\mathrm{d}t\right) = 4t\sin t + 4\cos t$。代入得原积分 $= -2t^2\cos t + 4t\sin t + 4\cos t + C$。回代 $t = \sqrt{x}$，得 $(4-2x)\cos\sqrt{x} + 4\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + C$。
公式：分部积分公式
提示：回代时注意 $t^2 = x$，所以 $-2t^2\cos t = -2x\cos\sqrt{x}$，合并常数项。
步骤 4/8
目标：第二题：换元并利用倍角公式
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$，原积分化为 $\int \cos^2\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \int \cos^2 t \cdot 2t\,\mathrm{d}t = 2\int t\cos^2 t\,\mathrm{d}t$。利用倍角公式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，得 $2\int t\cdot\frac{1+\cos 2t}{2}\,\mathrm{d}t = \int t(1+\cos 2t)\,\mathrm{d}t = \int t\,\mathrm{d}t + \int t\cos 2t\,\mathrm{d}t$。
公式：倍角公式：$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$
提示：注意 $\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$，不要遗漏因子2。
步骤 5/8
目标：第二题：分部积分处理 $t\cos 2t$
先计算 $\int t\,\mathrm{d}t = \frac{t^2}{2}$。再对 $\int t\cos 2t\,\mathrm{d}t$ 分部积分：令 $u = t$，$\mathrm{d}v = \cos 2t\,\mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}t$，$v = \frac{1}{2}\sin 2t$。于是 $\int t\cos 2t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}t\sin 2t - \frac{1}{2}\int \sin 2t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}t\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t$。所以原积分 $= \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2}t\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t + C$。
公式：分部积分公式；$\int \cos 2t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\sin 2t$
提示：注意 $\int \sin 2t\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{2}\cos 2t$，符号不要错。
步骤 6/8
目标：第二题：回代并整理结果
回代 $t = \sqrt{x}$，得 $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{x}\sin 2\sqrt{x} + \frac{1}{4}\cos 2\sqrt{x} + C$。可整理为 $\frac{1}{4}(2x + 2\sqrt{x}\sin 2\sqrt{x} + \cos 2\sqrt{x}) + C$。
提示：注意 $t^2 = x$，所以 $\frac{t^2}{2} = \frac{x}{2}$。
步骤 7/8
目标：第三题：利用积化和差公式
利用积化和差公式 $\sin a x \cos b x = \frac{1}{2}[\sin(a-b)x + \sin(a+b)x]$，原积分化为 $\int x \sin a x \cos b x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int x[\sin(a-b)x + \sin(a+b)x]\,\mathrm{d}x$。
公式：积化和差：$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$
提示：注意 $a \neq 0, b \neq 0, a^2 \neq b^2$，分母不为零。
步骤 8/8
目标：第三题：分部积分求解
令 $I = \frac{1}{2}\int x[\sin(a-b)x + \sin(a+b)x]\,\mathrm{d}x$。对每个部分分部积分：$\int x\sin kx\,\mathrm{d}x = -\frac{x\cos kx}{k} + \frac{\sin kx}{k^2}$。分别取 $k = a-b$ 和 $k = a+b$，得 $I = \frac{1}{2}\left[-\frac{x\cos(a-b)x}{a-b} - \frac{x\cos(a+b)x}{a+b} + \frac{\sin(a-b)x}{(a-b)^2} + \frac{\sin(a+b)x}{(a+b)^2}\right] + C$。
公式：分部积分：$\int x\sin kx\,\mathrm{d}x = -\frac{x\cos kx}{k} + \frac{\sin kx}{k^2} + C$
提示：注意符号：$\int \sin kx\,\mathrm{d}x = -\frac{\cos kx}{k}$，分部积分时负号要小心。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。