中册 4.1 不定积分计算 第7题
📝 题目
7．求下列积分．
（1） $\int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \arcsin x \mathrm{~d}\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x^{2} \arcsin x-\int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x\right)$ ．
$$
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \xlongequal{x=\sin t} \int \frac{\sin ^{2} t}{\cos t} \cos t \mathrm{~d} t=\int \frac{1-\cos 2 t}{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2} \sin 2 t\right)=\frac{1}{2}\left(\arcsin x-x \sqrt{1-x^{2}}\right) .
$$
所以 $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(x^{2} \arcsin x-\int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x\right)=\frac{1}{2}\left[x^{2} \arcsin x-\frac{1}{2}\left(\arcsin x-x \sqrt{1-x^{2}}\right)\right]+C$
$$
=\frac{1}{2} x^{2} \arcsin x-\frac{1}{4} \arcsin x+\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^{2}}+C .
$$
（2）令 $t=\sqrt{x}$ ，则
$$
\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \int \frac{\arcsin t}{t} t \mathrm{~d} t=2 \int \arcsin t \mathrm{~d} t=2\left(t \arcsin t-\int \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t\right)
$$
$$
\begin{aligned}
& =2\left[t \arcsin t+\frac{1}{2} \int\left(1-t^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d}\left(1-t^{2}\right)\right]=2\left(t \arcsin t+\sqrt{1-t^{2}}\right)+C \\
& =2 \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}+C .
\end{aligned}
$$
（3）令 $u=\mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{de}^{x}=\int \frac{\arcsin u}{u^{2}} \mathrm{~d} u=-\int \arcsin u \mathrm{~d} u^{-1}=-\left(\frac{\arcsin u}{u}-\int \frac{1}{u \sqrt{1-u^{2}}} \mathrm{~d} u\right) \\
& =-\left(\frac{\arcsin u}{u}+\int \frac{1}{\sqrt{u^{-2}-1}} \mathrm{~d}\left(u^{-1}\right)\right)=-\left(\frac{\arcsin u}{u}+\ln \left|u^{-1}+\sqrt{u^{-2}-1}\right|\right)+C \\
& =-\left(\frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}}+\ln \left|\frac{1+\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}{\mathrm{e}^{x}}\right|\right)+C .
\end{aligned}
$$
（4）令 $t=\arccos x$ ，则 $x=\cos t, \mathrm{~d} x=-\sin t \mathrm{~d} t$ ，于是
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{~d} x & =-\int \frac{t}{\sin ^{3} t} \cdot \sin t \mathrm{~d} t=-\int t \csc ^{2} t \mathrm{~d} t=\int t \mathrm{~d}(\cot t)=t \cot t-\int \cot t \mathrm{~d} t=t \cot t-\int \frac{\mathrm{d}(\sin t)}{\sin t} \\
& =t \cot t-\ln |\sin t|+C=\arccos x \cot (\arccos x)-\ln |\sin (\arccos x)|+C
\end{aligned}
$$
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=-2 \int \arccos x \mathrm{~d} \sqrt{1-x^{2}}=-2\left(\sqrt{1-x^{2}} \arccos x+\int \frac{1}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)$
$$
=-2\left(\sqrt{1-x^{2}} \arccos x+\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right)+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/14
目标：分部积分处理∫x arcsin x dx
令 $u = \arcsin x$, $dv = x\,dx$, 则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$。分部积分得：
$$\int x \arcsin x\,dx = \frac{1}{2}x^2 \arcsin x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.$$
公式：分部积分公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意分部积分后要正确计算微分du。
步骤 2/14
目标：计算∫ x^2/√(1-x^2) dx
令 $x = \sin t$, 则 $dx = \cos t\,dt$, $\sqrt{1-x^2} = \cos t$。代入得：
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cos t\,dt = \int \sin^2 t\,dt = \int \frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\left(t - \frac{1}{2}\sin 2t\right) + C.$$
公式：三角恒等式：$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$
提示：注意换元后要回代，$\sin 2t = 2\sin t \cos t = 2x\sqrt{1-x^2}$。
步骤 3/14
目标：回代并整理结果
将上一步结果回代：$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{1}{2}(\arcsin x - x\sqrt{1-x^2}) + C$。代入第一步得：
$$\int x \arcsin x\,dx = \frac{1}{2}x^2 \arcsin x - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(\arcsin x - x\sqrt{1-x^2}) + C = \frac{1}{2}x^2 \arcsin x - \frac{1}{4}\arcsin x + \frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2} + C.$$
提示：注意常数C的合并。
步骤 4/14
目标：换元法处理∫ arcsin√x/√x dx
令 $t = \sqrt{x}$, 则 $x = t^2$, $dx = 2t\,dt$, 代入得：
$$\int \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{\arcsin t}{t} \cdot 2t\,dt = 2\int \arcsin t\,dt.$$
公式：换元法：$dx = 2t\,dt$
提示：注意$\sqrt{x}=t$，$dx=2t\,dt$。
步骤 5/14
目标：分部积分计算∫ arcsin t dt
令 $u = \arcsin t$, $dv = dt$, 则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$, $v = t$。分部积分得：
$$\int \arcsin t\,dt = t\arcsin t - \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.$$
计算 $\int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt = -\frac{1}{2}\int (1-t^2)^{-1/2}\,d(1-t^2) = -\sqrt{1-t^2} + C$。因此：
$$\int \arcsin t\,dt = t\arcsin t + \sqrt{1-t^2} + C.$$
公式：分部积分公式；$\int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt = -\sqrt{1-t^2}$
提示：注意符号：$d(1-t^2) = -2t\,dt$。
步骤 6/14
目标：回代得到最终结果
将 $t = \sqrt{x}$ 代入：
$$2\int \arcsin t\,dt = 2(t\arcsin t + \sqrt{1-t^2}) + C = 2\sqrt{x}\arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{1-x} + C.$$
提示：注意$\sqrt{1-t^2} = \sqrt{1-x}$。
步骤 7/14
目标：换元法处理∫ arcsin(e^x)/e^x dx
令 $u = e^x$, 则 $x = \ln u$, $dx = \frac{1}{u}\,du$, 代入得：
$$\int \frac{\arcsin(e^x)}{e^x}\,dx = \int \frac{\arcsin u}{u} \cdot \frac{1}{u}\,du = \int \frac{\arcsin u}{u^2}\,du.$$
公式：换元法：$dx = du/u$
提示：注意$e^x = u$，$dx = du/u$。
步骤 8/14
目标：分部积分处理∫ arcsin u / u^2 du
令 $w = \arcsin u$, $dv = u^{-2}\,du$, 则 $dw = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du$, $v = -u^{-1}$。分部积分得：
$$\int \frac{\arcsin u}{u^2}\,du = -\frac{\arcsin u}{u} + \int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\,du.$$
计算 $\int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\,du$：令 $v = \frac{1}{u}$, 则 $du = -\frac{1}{v^2}\,dv$, $\sqrt{1-u^2} = \sqrt{1-1/v^2} = \frac{\sqrt{v^2-1}}{|v|}$，但更简单的方法：$\int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\,du = \int \frac{1}{\sqrt{u^{-2}-1}}\,d(u^{-1}) = \ln\left|u^{-1} + \sqrt{u^{-2}-1}\right| + C$。因此：
$$\int \frac{\arcsin u}{u^2}\,du = -\frac{\arcsin u}{u} + \ln\left|\frac{1+\sqrt{1-u^2}}{u}\right| + C.$$
公式：分部积分公式；$\int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\,du = \ln\left|\frac{1+\sqrt{1-u^2}}{u}\right|$
提示：注意绝对值符号。
步骤 9/14
目标：回代得到最终结果
将 $u = e^x$ 代入：
$$\int \frac{\arcsin(e^x)}{e^x}\,dx = -\frac{\arcsin(e^x)}{e^x} + \ln\left|\frac{1+\sqrt{1-e^{2x}}}{e^x}\right| + C.$$
提示：注意$\sqrt{1-u^2} = \sqrt{1-e^{2x}}$。
步骤 10/14
目标：换元法处理∫ arccos x / √((1-x^2)^3) dx
令 $t = \arccos x$, 则 $x = \cos t$, $dx = -\sin t\,dt$, $\sqrt{1-x^2} = \sin t$。代入得：
$$\int \frac{\arccos x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\,dx = \int \frac{t}{\sin^3 t} (-\sin t)\,dt = -\int t \csc^2 t\,dt.$$
公式：换元法：$dx = -\sin t\,dt$
提示：注意$\sqrt{(1-x^2)^3} = \sin^3 t$。
步骤 11/14
目标：分部积分计算∫ t csc^2 t dt
令 $u = t$, $dv = \csc^2 t\,dt$, 则 $du = dt$, $v = -\cot t$。分部积分得：
$$\int t \csc^2 t\,dt = -t\cot t + \int \cot t\,dt = -t\cot t + \ln|\sin t| + C.$$
因此：
$$-\int t \csc^2 t\,dt = t\cot t - \ln|\sin t| + C.$$
公式：分部积分公式；$\int \cot t\,dt = \ln|\sin t|$
提示：注意符号：$\int \csc^2 t\,dt = -\cot t$。
步骤 12/14
目标：回代得到最终结果
将 $t = \arccos x$, $\cot t = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, $\sin t = \sqrt{1-x^2}$ 代入：
$$\int \frac{\arccos x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\,dx = \arccos x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \ln\left|\sqrt{1-x^2}\right| + C = \frac{x\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2}\ln|1-x^2| + C.$$
提示：注意$\ln|\sqrt{1-x^2}| = \frac{1}{2}\ln|1-x^2|$。
步骤 13/14
目标：分部积分处理∫ x arccos x / √(1-x^2) dx
令 $u = \arccos x$, $dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, 则 $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, $v = -\sqrt{1-x^2}$。分部积分得：
$$\int \frac{x\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2}\arccos x - \int \sqrt{1-x^2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx = -\sqrt{1-x^2}\arccos x + \int dx.$$
公式：分部积分公式；$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2}$
提示：注意$dv$的积分结果。
步骤 14/14
目标：计算并整理结果
$$\int \frac{x\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2}\arccos x + x + C.$$
提示：注意最后加上常数C。
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