中册 4.1 不定积分计算 第8题
📝 题目
8．设 $n$ 为自然数，求下列不定积分的递推公式．
（1）$I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$I_{n}=\int \tan ^{n-2} x\left(\sec ^{2} x-1\right) \mathrm{d} x=\int \tan ^{n-2} x \sec ^{2} x \mathrm{~d} x-\int \tan ^{n-2} x \mathrm{~d} x$
$$
=\int \tan ^{n-2} x \mathrm{~d} \tan x-I_{n-2}=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x-I_{n-2}
$$
即 $\displaystyle I_{n}=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x-I_{n-2}, n=2,3,4, \cdots$ ．
$$
\int \tan ^{4} \mathrm{~d} x=I_{4}=\frac{1}{3} \tan ^{3} x-\int \tan ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \tan ^{3} x-\tan x+x+C
$$
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{n} x}=\int \frac{\mathrm{d} \tan x}{\cos ^{n-2} x}=\frac{\tan x}{\cos ^{n-2} x}-(n-2) \int \frac{\tan x}{\cos ^{n-1} x} \sin x \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{\tan x}{\cos ^{n-2} x}-(n-2) \int \frac{1-\cos ^{2} x}{\cos ^{n} x} \mathrm{~d} x=\frac{\tan x}{\cos ^{n-2} x}-(n-2)\left(I_{n}-I_{n-2}\right) .
$$
于是 $\displaystyle \quad I_{n}=\frac{1}{n-1} \frac{\sin x}{\cos ^{n-1} x}+\frac{n-2}{n-1} I_{n-2},(n=2,3,4, \cdots)$ ，其中 $I_{0}=x+C, I_{1}=\ln |\sec x+\tan x|+C$ ．
$$
\int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x=I_{3}=\frac{1}{2} \frac{\sin x}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{2} I_{1}=\frac{1}{2}(\tan x \sec x+\ln |\tan x+\sec x|)+C .
$$
（3）$I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x=\int x^{n} \mathrm{~d} \sin x=x^{n} \sin x-n \int x^{n-1} \sin x \mathrm{~d} x$
$$
=x^{n} \sin x+n x^{n-1} \cos x-n(n-1) \int x^{n-2} \cos x \mathrm{~d} x
$$
于是 $\quad I_{n}=x^{n} \sin x+n x^{n-1} \cos x-n(n-1) I_{n-2},(n=2,3,4, \cdots)$ ，其中 $I_{0}=\sin x+C, I_{1}=x \sin x-\cos x+C$ 。
$$
\int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x=I_{3}=x^{3} \sin x+3 x^{2} \cos x-6 I_{1}=x^{3} \sin x+3 x^{2} \cos x-6(x \sin x-\cos x)+C
$$
（4）$I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x=x(\ln x)^{n}-n \int(\ln x)^{n-1} \mathrm{~d} x=x(\ln x)^{n}-n I_{n-1}$ ．
$$
\int(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x=I_{2}=x \ln ^{2} x-2 I_{1}=x \ln ^{2} x-2\left(x \ln x-I_{0}\right)=x \ln ^{2} x-2(x \ln x-x)+C
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：推导 tan^n x 的递推公式
利用恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，将 $\tan^n x$ 分解为 $\tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x = \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1)$，则 $I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$。
公式：$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
提示：注意 $\tan^{n-2} x \sec^2 x$ 的积分可通过换元 $u = \tan x$ 得到。
步骤 2/10
目标：计算第一项积分并得到递推式
令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$，于是 $\int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \int u^{n-2} \, du = \frac{1}{n-1} u^{n-1} = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x$。因此 $I_n = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x - I_{n-2}$，其中 $n \ge 2$。
公式：$\int u^{m} du = \frac{u^{m+1}}{m+1} + C$
提示：注意 $n=1$ 时公式不适用，需单独处理 $I_1 = \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$。
步骤 3/10
目标：计算 ∫ tan^4 x dx
利用递推式：$I_4 = \frac{1}{3} \tan^3 x - I_2$，而 $I_2 = \frac{1}{1} \tan^1 x - I_0 = \tan x - x + C$（因为 $I_0 = \int 1 \, dx = x + C$）。所以 $I_4 = \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + C$。
公式：$I_n = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x - I_{n-2}$
提示：注意 $I_0$ 的积分常数不要遗漏。
步骤 4/10
目标：推导 sec^n x 的递推公式
将 $\sec^n x$ 写为 $\sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x$，利用分部积分：令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则 $du = (n-2) \sec^{n-3} x \cdot \sec x \tan x \, dx = (n-2) \sec^{n-2} x \tan x \, dx$，$v = \tan x$。于是 $I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) \int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx$。
公式：分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意 $\sec x$ 的导数：$\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$。
步骤 5/10
目标：化简得到递推式
利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，则 $\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx = \int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx = I_n - I_{n-2}$。代入得 $I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)(I_n - I_{n-2})$，整理得 $(n-1)I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2)I_{n-2}$，即 $I_n = \frac{1}{n-1} \sec^{n-2} x \tan x + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}$，$n \ge 2$。
公式：$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
提示：注意 $n=1$ 时 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$，$n=0$ 时 $I_0 = x + C$。
步骤 6/10
目标：计算 ∫ sec^3 x dx
利用递推式：$I_3 = \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} I_1$，而 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$，所以 $I_3 = \frac{1}{2} (\sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x|) + C$。
公式：$I_n = \frac{1}{n-1} \sec^{n-2} x \tan x + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}$
提示：注意 $\sec x \tan x$ 可写为 $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$。
步骤 7/10
目标：推导 x^n cos x 的递推公式
使用分部积分：令 $u = x^n$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = n x^{n-1} \, dx$，$v = \sin x$。于是 $I_n = x^n \sin x - n \int x^{n-1} \sin x \, dx$。再对 $\int x^{n-1} \sin x \, dx$ 分部积分：令 $u = x^{n-1}$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = (n-1)x^{n-2} \, dx$，$v = -\cos x$，得 $\int x^{n-1} \sin x \, dx = -x^{n-1} \cos x + (n-1) \int x^{n-2} \cos x \, dx$。代入得 $I_n = x^n \sin x + n x^{n-1} \cos x - n(n-1) I_{n-2}$。
公式：分部积分公式
提示：注意符号：$\int \sin x \, dx = -\cos x$，因此第二次分部积分时出现负号。
步骤 8/10
目标：计算 ∫ x^3 cos x dx
利用递推式：$I_3 = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6 I_1$。而 $I_1 = \int x \cos x \, dx$，用分部积分：$u=x, dv=\cos x dx$，得 $I_1 = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$。所以 $I_3 = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6(x \sin x + \cos x) + C = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6\cos x + C$。
公式：$I_n = x^n \sin x + n x^{n-1} \cos x - n(n-1) I_{n-2}$
提示：注意 $I_1$ 的结果是 $x \sin x + \cos x$，不要遗漏常数。
步骤 9/10
目标：推导 (ln x)^n 的递推公式
使用分部积分：令 $u = (\ln x)^n$，$dv = dx$，则 $du = n (\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} \, dx$，$v = x$。于是 $I_n = x (\ln x)^n - n \int (\ln x)^{n-1} \, dx = x (\ln x)^n - n I_{n-1}$。
公式：分部积分公式
提示：注意 $\frac{d}{dx} (\ln x)^n = n (\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$。
步骤 10/10
目标：计算 ∫ ln^2 x dx
利用递推式：$I_2 = x \ln^2 x - 2 I_1$，而 $I_1 = \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$（分部积分：$u=\ln x, dv=dx$）。所以 $I_2 = x \ln^2 x - 2(x \ln x - x) + C = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C$。
公式：$I_n = x (\ln x)^n - n I_{n-1}$
提示：注意 $I_0 = \int 1 \, dx = x + C$，但递推中 $I_1$ 需单独计算。
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