中册 4.1 不定积分计算 第10题
📝 题目
10．求下列积分．
（1） $\int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $u=\sqrt{x}$ ，则 $\int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{u} 2 u \mathrm{~d} u=2\left(\mathrm{e}^{u} u-\mathrm{e}^{u}\right)+C=2 \mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} \int x^{2} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{-2 x}\right)=-\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{-2 x}-\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{-2 x}-\frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2 x}+C$ ．
（3） $\int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x=2 \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin x \cos x \mathrm{~d} x=2 \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin x \mathrm{~d}(\sin x)=2 \int \sin x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{\sin x}\right)$
$$
=2\left(\mathrm{e}^{\sin x} \sin x-\int \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d}(\sin x)\right)=2\left(\mathrm{e}^{\sin x} \sin x-\mathrm{e}^{\sin x}\right)+C=2 \mathrm{e}^{\sin x}(\sin x-1)+C .
$$
（4） $\int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x=\int\left(\tan ^{2} x+2 \tan x+1\right) \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{2 x} \sec ^{2} x \mathrm{~d} x+2 \int \mathrm{e}^{2 x} \tan x \mathrm{~d} x$
$$
=\int \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} \tan x+2 \int \mathrm{e}^{2 x} \tan x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{2 x} \tan x+C .
$$
（5）令 $t=\ln x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x & =\int \frac{1-t}{t^{2}} \mathrm{de}^{t}=\int t^{-2} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t-\int t^{-1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=-\int \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t^{-1}-\int t^{-1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t \\
& =-\left(\mathrm{e}^{t} t^{-1}-\int t^{-1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t\right)-\int t^{-1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=-\mathrm{e}^{t} t^{-1}+C=-x(\ln x)^{-1}+C .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/13
目标：换元法简化积分
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$\mathrm{d}x = 2u \mathrm{d}u$。原积分化为 $\int e^u \cdot 2u \mathrm{d}u = 2\int u e^u \mathrm{d}u$。
公式：$\int e^{\sqrt{x}} \mathrm{d}x = 2\int u e^u \mathrm{d}u$
提示：注意换元后要正确替换微分，$\mathrm{d}x = 2u \mathrm{d}u$ 容易遗漏因子2。
步骤 2/13
目标：分部积分法求 $\int u e^u \mathrm{d}u$
使用分部积分公式 $\int u e^u \mathrm{d}u = u e^u - \int e^u \mathrm{d}u = u e^u - e^u + C$。
公式：$\int u e^u \mathrm{d}u = u e^u - e^u + C$
提示：分部积分时，选择 $u$ 为多项式，$e^u$ 为 $\mathrm{d}v$。
步骤 3/13
目标：回代得到最终结果
将 $u = \sqrt{x}$ 代回，得 $2(\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C$。
公式：$\int e^{\sqrt{x}} \mathrm{d}x = 2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1) + C$
提示：回代时注意常数因子2不要遗漏。
步骤 4/13
目标：分部积分法求 $\int x^2 e^{-2x} \mathrm{d}x$
令 $u = x^2$，$\mathrm{d}v = e^{-2x} \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。由分部积分公式：$\int x^2 e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} \mathrm{d}x$。
公式：$\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$
提示：注意 $e^{-2x}$ 的原函数是 $-\frac{1}{2}e^{-2x}$，符号容易出错。
步骤 5/13
目标：再次分部积分求 $\int x e^{-2x} \mathrm{d}x$
令 $u = x$，$\mathrm{d}v = e^{-2x} \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。得 $\int x e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$。
公式：$\int x e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$
提示：第二次分部积分后，$\int e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}e^{-2x}$，注意系数。
步骤 6/13
目标：合并结果
将第二步结果代入第一步：$\int x^2 e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} - \frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$。
公式：$\int x^2 e^{-2x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}e^{-2x}(x^2 + x + \frac{1}{2}) + C$
提示：合并时注意各项系数，最终结果可提取公因子 $-\frac{1}{2}e^{-2x}$。
步骤 7/13
目标：利用三角恒等式化简被积函数
注意到 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，且 $\cos x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\sin x)$。则 $\int e^{\sin x} \sin 2x \mathrm{d}x = 2\int e^{\sin x} \sin x \cos x \mathrm{d}x = 2\int \sin x e^{\sin x} \mathrm{d}(\sin x)$。
公式：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
提示：注意 $\cos x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\sin x)$，这是关键换元。
步骤 8/13
目标：分部积分求 $\int \sin x e^{\sin x} \mathrm{d}(\sin x)$
令 $t = \sin x$，则积分化为 $2\int t e^t \mathrm{d}t$。由（1）中结果 $\int t e^t \mathrm{d}t = t e^t - e^t + C$，所以 $2\int t e^t \mathrm{d}t = 2(t e^t - e^t) + C = 2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C$。
公式：$\int t e^t \mathrm{d}t = t e^t - e^t + C$
提示：换元后注意回代，且不要忘记系数2。
步骤 9/13
目标：展开平方并化简
$(\tan x + 1)^2 = \tan^2 x + 2\tan x + 1 = \sec^2 x + 2\tan x$（因为 $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$）。所以原积分 $\int e^{2x}(\tan x+1)^2 \mathrm{d}x = \int e^{2x} \sec^2 x \mathrm{d}x + 2\int e^{2x} \tan x \mathrm{d}x$。
公式：$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$
提示：展开后要正确合并，注意 $\sec^2 x$ 的积分是 $\tan x$ 的导数。
步骤 10/13
目标：分部积分合并项
注意到 $\int e^{2x} \sec^2 x \mathrm{d}x = \int e^{2x} \mathrm{d}(\tan x) = e^{2x} \tan x - \int \tan x \cdot 2e^{2x} \mathrm{d}x = e^{2x} \tan x - 2\int e^{2x} \tan x \mathrm{d}x$。代入原式得：$\int e^{2x}(\tan x+1)^2 \mathrm{d}x = (e^{2x} \tan x - 2\int e^{2x} \tan x \mathrm{d}x) + 2\int e^{2x} \tan x \mathrm{d}x = e^{2x} \tan x + C$。
公式：$\int e^{2x} \sec^2 x \mathrm{d}x = e^{2x} \tan x - 2\int e^{2x} \tan x \mathrm{d}x$
提示：分部积分时注意 $\mathrm{d}(\tan x) = \sec^2 x \mathrm{d}x$，且 $e^{2x}$ 的导数为 $2e^{2x}$。
步骤 11/13
目标：换元法简化积分
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$\mathrm{d}x = e^t \mathrm{d}t$。原积分化为 $\int \frac{1-t}{t^2} e^t \mathrm{d}t = \int \frac{e^t}{t^2} \mathrm{d}t - \int \frac{e^t}{t} \mathrm{d}t$。
公式：$\int \frac{1-\ln x}{\ln^2 x} \mathrm{d}x = \int \frac{1-t}{t^2} e^t \mathrm{d}t$
提示：换元后注意 $\mathrm{d}x = e^t \mathrm{d}t$，不要遗漏。
步骤 12/13
目标：分部积分处理 $\int \frac{e^t}{t^2} \mathrm{d}t$
利用分部积分：$\int \frac{e^t}{t^2} \mathrm{d}t = \int e^t \mathrm{d}(-\frac{1}{t}) = -\frac{e^t}{t} + \int \frac{e^t}{t} \mathrm{d}t$。代入上式得：原积分 $= (-\frac{e^t}{t} + \int \frac{e^t}{t} \mathrm{d}t) - \int \frac{e^t}{t} \mathrm{d}t = -\frac{e^t}{t} + C$。
公式：$\int e^t \mathrm{d}(-\frac{1}{t}) = -\frac{e^t}{t} + \int \frac{e^t}{t} \mathrm{d}t$
提示：注意 $\mathrm{d}(-\frac{1}{t}) = \frac{1}{t^2} \mathrm{d}t$，符号不要弄错。
步骤 13/13
目标：回代得到最终结果
将 $t = \ln x$ 代回，得 $-\frac{e^{\ln x}}{\ln x} + C = -\frac{x}{\ln x} + C$。
公式：$\int \frac{1-\ln x}{\ln^2 x} \mathrm{d}x = -\frac{x}{\ln x} + C$
提示：回代时注意 $e^{\ln x} = x$。
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