中册 4.1 不定积分计算 第11题
📝 题目
11．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d}(x \ln x)=-\frac{1}{x \ln x}+C$ ．
（2）令 $t=\ln x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x & =\int \frac{t}{\sqrt{1+t}} \mathrm{~d} t=\int\left(\sqrt{1+t}-\frac{1}{\sqrt{1+t}}\right) \mathrm{d} t=\frac{2}{3}(1+t)^{\frac{3}{2}}-2(1+t)^{\frac{1}{2}}+C \\
& =\frac{2}{3}(1+\ln x)^{\frac{3}{2}}-2(1+\ln x)^{\frac{1}{2}}+C .
\end{aligned}
$$
（3） $\int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x=\int \mathrm{e}^{x \ln x}(1+\ln x) \mathrm{d} x=\int \mathrm{e}^{x \ln x} \mathrm{~d}(x \ln x)=\mathrm{e}^{x \ln x}+C$ ．
（4）由于 $\displaystyle (\ln (1+x)-\ln x)^{\prime}=-\frac{1}{x(x+1)}$ ，所以
$$
\int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x=-\int(\ln (1+x)-\ln x) \mathrm{d}(\ln (1+x)-\ln x)=-\frac{1}{2}[\ln (1+x)-\ln x]^{2}+C .
$$
（5） $\displaystyle \int\left(\ln (\ln x)+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x=\int \ln (\ln x) \mathrm{d} x+\int \frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} x$
$$
=x \ln (\ln x)-\int x \cdot \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x+\int \frac{1}{\ln x} \mathrm{~d} x=x \ln (\ln x)+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：识别被积函数结构
观察到被积函数为 $\frac{1+\ln x}{(x \ln x)^2}$，注意到分母是 $(x \ln x)^2$，分子是 $1+\ln x$，而 $d(x \ln x) = (\ln x + 1) dx$，因此可凑微分。
公式：$d(x \ln x) = (1+\ln x) dx$
提示：注意 $d(x \ln x)$ 的微分结果，不要遗漏因子。
步骤 2/11
目标：凑微分并积分
原积分 $\int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^2} dx = \int \frac{1}{(x \ln x)^2} d(x \ln x)$。令 $u = x \ln x$，则积分变为 $\int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C$。回代得 $-\frac{1}{x \ln x} + C$。
公式：$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C$
提示：注意回代时不要忘记常数C。
步骤 3/11
目标：换元简化积分
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$dx = e^t dt$，原积分 $\int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} dx = \int \frac{t}{e^t \sqrt{1+t}} \cdot e^t dt = \int \frac{t}{\sqrt{1+t}} dt$。
公式：换元法：$t = \ln x$
提示：注意 $dx$ 与 $dt$ 的转换，不要漏掉 $e^t$ 因子。
步骤 4/11
目标：拆分并积分
将 $\frac{t}{\sqrt{1+t}}$ 拆分为 $\sqrt{1+t} - \frac{1}{\sqrt{1+t}}$，则积分 $\int \left(\sqrt{1+t} - \frac{1}{\sqrt{1+t}}\right) dt = \frac{2}{3}(1+t)^{3/2} - 2(1+t)^{1/2} + C$。回代 $t = \ln x$ 得 $\frac{2}{3}(1+\ln x)^{3/2} - 2(1+\ln x)^{1/2} + C$。
公式：$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3}u^{3/2}$，$\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2}$
提示：拆分时注意符号，积分后不要忘记常数C。
步骤 5/11
目标：指数形式转化
注意到 $x^x = e^{x \ln x}$，则原积分 $\int x^x (1+\ln x) dx = \int e^{x \ln x} (1+\ln x) dx$。而 $d(x \ln x) = (1+\ln x) dx$，因此可凑微分。
公式：$x^x = e^{x \ln x}$，$d(x \ln x) = (1+\ln x) dx$
提示：注意 $x^x$ 的指数形式，这是关键步骤。
步骤 6/11
目标：凑微分并积分
原积分 $= \int e^{x \ln x} d(x \ln x) = e^{x \ln x} + C = x^x + C$。
公式：$\int e^u du = e^u + C$
提示：注意回代后得到 $x^x$，不要写成 $e^{x \ln x}$。
步骤 7/11
目标：观察导数关系
注意到 $\ln(1+x) - \ln x$ 的导数为 $\frac{1}{1+x} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{x(x+1)}$，因此被积函数可写为 $- (\ln(1+x) - \ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(1+x) - \ln x)$。
公式：$(\ln(1+x) - \ln x)' = -\frac{1}{x(x+1)}$
提示：注意负号的处理。
步骤 8/11
目标：凑微分并积分
原积分 $= -\int (\ln(1+x) - \ln x) d(\ln(1+x) - \ln x) = -\frac{1}{2} (\ln(1+x) - \ln x)^2 + C$。
公式：$\int u du = \frac{1}{2}u^2 + C$
提示：注意积分后负号保留。
步骤 9/11
目标：拆分积分
原积分 $\int \left(\ln \ln x + \frac{1}{\ln x}\right) dx = \int \ln \ln x \, dx + \int \frac{1}{\ln x} dx$。
公式：积分线性性质
提示：注意拆分后分别积分。
步骤 10/11
目标：分部积分处理第一项
对 $\int \ln \ln x \, dx$ 使用分部积分：令 $u = \ln \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x \ln x} dx$，$v = x$，得 $\int \ln \ln x \, dx = x \ln \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x \ln x} dx = x \ln \ln x - \int \frac{1}{\ln x} dx$。
公式：分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意 $\ln \ln x$ 的导数计算。
步骤 11/11
目标：合并结果
将分部积分结果代入原式：$\left(x \ln \ln x - \int \frac{1}{\ln x} dx\right) + \int \frac{1}{\ln x} dx = x \ln \ln x + C$。
公式：抵消项
提示：注意两个 $\int \frac{1}{\ln x} dx$ 抵消，不要遗漏常数C。
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