中册 4.1 不定积分计算 第14题
📝 题目
14．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x=\int x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{x \mathrm{e}^{-x}}{1-x}-\int \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\frac{x \mathrm{e}^{-x}}{1-x}+\mathrm{e}^{-x}+C$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=-\int x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{x \mathrm{e}^{x}}{1+x}+\int \frac{1}{1+x}\left(\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}+C$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x=-\int x^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x+2}\right)=-\frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{x+2}+\int \frac{1}{x+2}\left(x^{2} \mathrm{e}^{x}\right)^{\prime} \mathrm{d} x$
$$
=-\frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{x+2}+\int x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=-\frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{2+x}+(x-1) \mathrm{e}^{x}+C
$$
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\int x \mathrm{~d}\left(\frac{-1}{1+\mathrm{e}^{x}}\right)=-\frac{x}{1+\mathrm{e}^{x}}+\int \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=-\frac{x}{1+\mathrm{e}^{x}}+\int\left(1-\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}\right) \mathrm{d} x$
$$
=-\frac{x}{1+\mathrm{e}^{x}}+x-\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)+C
$$
（5）令 $\ln x=t$ ，则 $x=\mathrm{e}^{t}, \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ 。于是
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\mathrm{e}^{t}(t-1)}{\left(\mathrm{e}^{t}+t\right)^{2}} \mathrm{~d} t=-\int \frac{\mathrm{e}^{-t}(t-1)}{\left(1+t \mathrm{e}^{-t}\right)^{2}} \mathrm{~d} t=-\int \frac{1}{\left(1+t \mathrm{e}^{-t}\right)^{2}} \mathrm{~d}\left(1+t \mathrm{e}^{-t}\right) \\
& =\frac{1}{1+t \mathrm{e}^{-t}}+C=\frac{x}{x+\ln x}+C
\end{aligned}
$$
（6）令 $t=x \mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x & =\int \frac{(1+x) \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x=\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x} x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d}\left(x \mathrm{e}^{x}\right)=\int \frac{1}{t(1-t)} \mathrm{d} t=\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t+\int \frac{1}{1-t} \mathrm{~d} t \\
& =\ln |t|-\ln |1-t|+C=\ln \left|\frac{t}{1-t}\right|+C=\ln \left|\frac{x \mathrm{e}^{x}}{1-x \mathrm{e}^{x}}\right|+C .
\end{aligned}
$$
（7）令 $t=x \mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x & =\int \frac{(1+x) \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x=\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x} x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d}\left(x \mathrm{e}^{x}\right)=\int \frac{1}{t(1+t)} \mathrm{d} t=\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t-\int \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t \\
& =\ln |t|-\ln |1-t|+C=\ln \left|\frac{t}{1+t}\right|+C=\ln \left|\frac{x \mathrm{e}^{x}}{1+x \mathrm{e}^{x}}\right|+C
\end{aligned}
$$
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x=\int \frac{(1+x) \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x=\int \frac{1}{\mathrm{e}^{x} x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d}\left(x \mathrm{e}^{x}\right)=\int \frac{1}{t(2+t)} \mathrm{d} t=\frac{1}{2}\left(\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t-\int \frac{1}{2+t} \mathrm{~d} t\right)$
$$
=\frac{1}{2}(\ln |t|-\ln |2+t|)+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t}{2+t}\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x \mathrm{e}^{x}}{2+x \mathrm{e}^{x}}\right|+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分类型并选择方法
观察被积函数 $\frac{x e^{-x}}{(1-x)^2}$，注意到分母为 $(1-x)^2$，分子有 $x e^{-x}$，考虑分部积分法，将 $\frac{1}{(1-x)^2}$ 视为 $d\left(\frac{1}{1-x}\right)$ 的导数。
公式：$d\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2} dx$
提示：注意符号：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}$，因为 $(1-x)^{-1}$ 的导数为 $(1-x)^{-2}$（链式法则）。
步骤 2/4
目标：应用分部积分公式
令 $u = x e^{-x}$，$dv = \frac{1}{(1-x)^2} dx$，则 $du = (e^{-x} - x e^{-x}) dx = e^{-x}(1-x) dx$，$v = \frac{1}{1-x}$。分部积分得：$\int \frac{x e^{-x}}{(1-x)^2} dx = \frac{x e^{-x}}{1-x} - \int \frac{1}{1-x} \cdot e^{-x}(1-x) dx = \frac{x e^{-x}}{1-x} - \int e^{-x} dx$。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：计算 $du$ 时注意乘积法则：$(x e^{-x})' = e^{-x} - x e^{-x}$。
步骤 3/4
目标：计算剩余积分
计算 $\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$。代入得：$\frac{x e^{-x}}{1-x} - (-e^{-x}) + C = \frac{x e^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C$。
公式：$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
提示：注意负号：$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$。
步骤 4/4
目标：化简结果
将结果写为 $\frac{x e^{-x}}{1-x} + e^{-x} + C = e^{-x} \left( \frac{x}{1-x} + 1 \right) + C = e^{-x} \cdot \frac{x + (1-x)}{1-x} + C = \frac{e^{-x}}{1-x} + C$。
提示：化简时注意通分，避免代数错误。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。