中册 4.1 不定积分计算 第15题
📝 题目
15．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $1998, a=2$ ：上海大学 2013）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\mathrm{e}^{2 x}+1} \mathrm{~d}\left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)=\frac{1}{2} \ln \left(1+\mathrm{e}^{2 x}\right)+C$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}=\int \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{2 x}+1}=\arctan \mathrm{e}^{x}+C$ ．
（3）令 $t=\mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}=\int \frac{\mathrm{d} t}{t(1+t)^{2}}=\int\left[\frac{1}{t(1+t)}-\frac{1}{(1+t)^{2}}\right] \mathrm{d} t=\ln \left|\frac{t}{1+t}\right|+\frac{1}{1+t}+C=\ln \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}+C .
$$
（4）令 $t=1+\mathrm{e}^{-x}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\mathrm{e}^{-x} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{-x}+1} \mathrm{~d} x=-\int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{-x}+1} \mathrm{~d}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)=-\int \frac{\ln t}{t} \mathrm{~d} t \\
& =-\int \ln t \mathrm{~d}(\ln t)=-\frac{1}{2} \ln ^{2} t+C=-\frac{1}{2} \ln ^{2}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)+C
\end{aligned}
$$
（5）令 $t=\sqrt{\mathrm{e}^{a x}+1}$ ，则 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}}=\frac{1}{a} \int \frac{2 t \mathrm{~d} t}{t\left(t^{2}-1\right)}=\frac{2}{a} \int \frac{\mathrm{~d} t}{t^{2}-1}=\frac{1}{a} \ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{a} \ln \left|\frac{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}-1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}+1}\right|+C$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简被积函数
将分子分母同乘以 $e^x$，得到 $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} dx$。
提示：注意 $e^x \cdot e^{-x}=1$，化简后分母为 $e^{2x}+1$。
步骤 2/2
目标：凑微分并积分
注意到 $d(e^{2x}+1)=2e^{2x}dx$，因此原积分化为 $\frac{1}{2}\int \frac{d(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1} = \frac{1}{2}\ln(e^{2x}+1)+C$。
公式：$\int \frac{du}{u} = \ln|u|+C$
提示：不要忘记常数 $C$，且 $e^{2x}+1>0$，绝对值可省略。
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