中册 4.1 不定积分计算 第16题
📝 题目
16．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$a=2$ ：四川师大 2013）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x^{2}}\right)^{2} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{x} \frac{1+x^{2}-2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\int \mathrm{e}^{x} \frac{-2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
=\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}}-\int \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}}+C
$$
（2）方法 1： $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{x} \frac{1+2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{x} \frac{1}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x+\int \mathrm{e}^{x} \tan \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$
$$
=\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d}\left(\tan \frac{x}{2}\right)+\int \mathrm{e}^{x} \tan \frac{x}{2} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x} \tan \frac{x}{2}+C
$$
方法 2：原式 $\displaystyle =\int \frac{(1-\cos x)(1+\sin x)}{\sin ^{2} x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\int\left(\csc ^{2} x-\csc x \cot x+\csc x-\cot x\right) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$
$$
=-\int\left(\mathrm{e}^{x} \cot x\right)^{\prime} \mathrm{d} x+\int\left(\mathrm{e}^{x} \csc x\right)^{\prime} \mathrm{d} x=(\csc x-\cot x) \mathrm{e}^{x}+C
$$
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{e}^{-x} \frac{1}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x+\int \mathrm{e}^{-x} \cot \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$
$$
=-\int \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}\left(\cot \frac{x}{2}\right)+\int \mathrm{e}^{-x} \cot \frac{x}{2} \mathrm{~d} x=-\mathrm{e}^{x} \cot \frac{x}{2}+C
$$
（4）令 $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}} & =2 \int \ln \left(u^{2}-1\right) \mathrm{d} u=2 u \ln \left(u^{2}-1\right)-2 \int u \frac{2 u}{u^{2}-1} \mathrm{~d} u=2 u \ln \left(u^{2}-1\right)-4 u-2 \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C . \\
& =(2 x-4) \sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}-2 \ln \left|\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}-1}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}+1}\right|+C .
\end{aligned}
$$
（5）令 $x=\ln \left(a+t^{2}\right)$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \sqrt{\mathrm{e}^{x}-a} \mathrm{~d} x & =\int \frac{2 t^{2}}{a+t^{2}} \mathrm{~d} t=2 \int\left(1-\frac{a}{a+t^{2}}\right) \mathrm{d} t=2 t-2 \sqrt{a} \arctan \frac{t}{\sqrt{a}}+C \\
& =2 \sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}-2 \sqrt{a} \arctan \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}}{\sqrt{a}}+C
\end{aligned}
$$
故
$$
\int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} \mathrm{~d} x=\int 2 x \mathrm{~d}\left(\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}\right)=2 x \sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}-2 \int \sqrt{\mathrm{e}^{x}-a} \mathrm{~d} x=(2 x-4) \sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}+4 \sqrt{a} \arctan \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\sqrt{a}}+C
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数
将 $\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$ 展开：$\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 = \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} = \frac{1 - 2x + x^2}{(1+x)^2}$。但答案中分母为 $1+x^2$，可能是题目印刷错误。原题应为 $\left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)^2$，故按此处理。展开得 $\frac{1+x^2-2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2}$。因此积分化为 $\int e^x \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right) dx$。
公式：$\left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)^2 = \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2}$
提示：注意题目中分母是 $1+x^2$ 而非 $1+x$，否则无法得到答案中的结果。
步骤 2/5
目标：分部积分
将积分拆分为两部分：$\int \frac{e^x}{1+x^2} dx - \int \frac{2x e^x}{(1+x^2)^2} dx$。注意到 $d\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} dx$，所以第二项可写为 $\int e^x d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$。于是原积分 $= \int \frac{e^x}{1+x^2} dx + \int e^x d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$。
公式：$d\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} dx$
提示：注意符号：$d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ 前面是负号，所以第二项变为 $+\int e^x d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$。
步骤 3/5
目标：应用分部积分公式
对 $\int e^x d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ 使用分部积分：$\int u dv = uv - \int v du$，其中 $u = e^x$，$dv = d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$，则 $du = e^x dx$，$v = \frac{1}{1+x^2}$。于是 $\int e^x d\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = e^x \cdot \frac{1}{1+x^2} - \int \frac{1}{1+x^2} e^x dx$。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时注意 $u$ 和 $dv$ 的选取，这里 $u=e^x$ 便于求导。
步骤 4/5
目标：合并积分项
将分部积分结果代入原积分：原积分 $= \int \frac{e^x}{1+x^2} dx + \left( \frac{e^x}{1+x^2} - \int \frac{e^x}{1+x^2} dx \right) = \frac{e^x}{1+x^2} + C$。两个 $\int \frac{e^x}{1+x^2} dx$ 抵消。
提示：注意常数 $C$ 不要遗漏。
步骤 5/5
目标：最终结果
因此，$\int e^x \left(\frac{1-x}{1+x^2}\right)^2 dx = \frac{e^x}{1+x^2} + C$。
提示：验证：对结果求导应得到被积函数。
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