中册 4.1 不定积分计算 第17题
📝 题目
17．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=\ln x$ ，则 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{t}, f(t)=\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{t}\right)}{\mathrm{e}^{t}}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int f(x) \mathrm{d} x & =\int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=-\int \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)=-\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{x}}+\int \mathrm{e}^{-x} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{x}}-\int \frac{1}{\mathrm{e}^{-x}+1} \mathrm{de}^{-x}=-\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{x}}-\ln \left(\mathrm{e}^{-x}+1\right)+C \\
& =-\left(\mathrm{e}^{-x}+1\right) \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)+x+C
\end{aligned}
$$
（2）令 $t=x^{2}-1$ ．由 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}=\ln \frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1-1}$ 得：$\displaystyle f(t)=\ln \frac{t+1}{t-1}$ ．
由 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln \frac{\varphi(x)+1}{\varphi(x)-1}=\ln x$ 得：$\displaystyle \frac{\varphi(x)+1}{\varphi(x)-1}=x$ ，即 $\displaystyle \varphi(x)=\frac{x+1}{x-1}$ ．于是
$$
\int \varphi(x) \mathrm{d} x=\int \frac{x+1}{x-1} \mathrm{~d} x=x+2 \ln |x-1|+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：换元求f(t)表达式
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，代入 $f(\ln x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$ 得 $f(t) = \frac{\ln(1+e^t)}{e^t}$。因此 $\int f(x) dx = \int \frac{\ln(1+e^x)}{e^x} dx$。
提示：注意换元后变量名统一，将t换回x。
步骤 2/7
目标：分部积分
令 $u = \ln(1+e^x)$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = \frac{e^x}{1+e^x} dx$，$v = -e^{-x}$。分部积分得：
$$\int \frac{\ln(1+e^x)}{e^x} dx = -\frac{\ln(1+e^x)}{e^x} + \int e^{-x} \cdot \frac{e^x}{1+e^x} dx = -\frac{\ln(1+e^x)}{e^x} + \int \frac{1}{1+e^x} dx.$$
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时注意符号，$v = -e^{-x}$。
步骤 3/7
目标：化简积分
将 $\int \frac{1}{1+e^x} dx$ 变形：分子分母同乘 $e^{-x}$ 得 $\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} dx = -\int \frac{1}{e^{-x}+1} d(e^{-x}) = -\ln(e^{-x}+1) + C$。
公式：$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$
提示：注意 $d(e^{-x}) = -e^{-x} dx$，因此前面有负号。
步骤 4/7
目标：合并结果
将两部分合并：
$$\int f(x) dx = -\frac{\ln(1+e^x)}{e^x} - \ln(e^{-x}+1) + C.$$
化简：$\ln(e^{-x}+1) = \ln\left(\frac{1+e^x}{e^x}\right) = \ln(1+e^x) - x$，代入得：
$$\int f(x) dx = -\frac{\ln(1+e^x)}{e^x} - [\ln(1+e^x) - x] + C = -(e^{-x}+1)\ln(1+e^x) + x + C.$$
提示：对数化简时注意 $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$。
步骤 5/7
目标：第二问：求f(t)表达式
令 $t = x^2 - 1$，则 $x^2 = t+1$，$x^2-2 = t-1$。代入 $f(x^2-1) = \ln\frac{x^2}{x^2-2}$ 得 $f(t) = \ln\frac{t+1}{t-1}$。
提示：注意定义域：$t \neq \pm 1$。
步骤 6/7
目标：由复合函数求φ(x)
由 $f(\varphi(x)) = \ln x$，代入 $f$ 表达式得 $\ln\frac{\varphi(x)+1}{\varphi(x)-1} = \ln x$，即 $\frac{\varphi(x)+1}{\varphi(x)-1} = x$。解出 $\varphi(x)$：
$$\varphi(x)+1 = x(\varphi(x)-1) \Rightarrow \varphi(x)+1 = x\varphi(x) - x \Rightarrow \varphi(x) - x\varphi(x) = -x -1 \Rightarrow \varphi(x)(1-x) = -(x+1) \Rightarrow \varphi(x) = \frac{x+1}{x-1}.$$
提示：解方程时注意移项符号，最终分母为 $x-1$。
步骤 7/7
目标：积分求结果
计算 $\int \varphi(x) dx = \int \frac{x+1}{x-1} dx$。将分式拆项：$\frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$，积分得：
$$\int \left(1 + \frac{2}{x-1}\right) dx = x + 2\ln|x-1| + C.$$
公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
提示：拆项时注意分子分母次数相同，用多项式除法。
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