中册 4.1 不定积分计算 第18题
📝 题目
18．求 $\displaystyle \int \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\int \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x=\int \frac{x}{2 \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d}(\tan x)=\frac{1}{2}(x \tan x+\ln |\cos x|)+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角恒等式化简分母
使用二倍角公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，则 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$。因此积分化为 $\int \frac{x}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$。
公式：$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
提示：注意 $1+\cos 2x$ 不能直接化简为 $2\cos^2 x$ 以外的形式，避免使用 $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ 导致复杂化。
步骤 2/6
目标：识别被积函数中的导数形式
注意到 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ 是 $\tan x$ 的导数，即 $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$。因此 $\frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \, d(\tan x)$。
公式：$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
提示：确保正确使用微分符号 $d(\tan x)$，避免混淆为 $\tan x \, dx$。
步骤 3/6
目标：应用分部积分法
令 $u = x$，$dv = d(\tan x)$，则 $du = dx$，$v = \tan x$。分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出：$\int x \, d(\tan x) = x \tan x - \int \tan x \, dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时注意 $u$ 和 $dv$ 的选择，这里 $u=x$ 求导后简化，$dv$ 易于积分。
步骤 4/6
目标：计算 $\int \tan x \, dx$
由于 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$，所以 $\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$。
公式：$\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$
提示：注意绝对值符号，且积分常数 $C$ 在最终结果中合并。
步骤 5/6
目标：代入分部积分结果
将 $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$ 代入分部积分结果：$x \tan x - \int \tan x \, dx = x \tan x + \ln |\cos x| + C$。
提示：注意负号：$x \tan x - (-\ln |\cos x|) = x \tan x + \ln |\cos x|$。
步骤 6/6
目标：乘以系数得到最终结果
原积分 $\frac{1}{2} \int x \, d(\tan x) = \frac{1}{2} (x \tan x + \ln |\cos x|) + C$。
提示：不要忘记系数 $\frac{1}{2}$，且积分常数 $C$ 为任意常数。
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