中册 4.1 不定积分计算 第19题
📝 题目
19．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1}$（常数 $\alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
\int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1} & =\frac{1}{2} \int \frac{2 x-2 \cos \alpha+2 \cos \alpha}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1} \mathrm{~d}\left(x^{2}-2 x \cos \alpha+1\right)+\cos \alpha \int \frac{\mathrm{d}(x-\cos \alpha)}{(x-\cos \alpha)^{2}+\sin ^{2} \alpha} \\
& =\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}-2 x \cos \alpha+1\right|+\cot \alpha \arctan \frac{(x-\cos \alpha)}{\sin \alpha}+C .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分子变形，凑微分
将分子 $x$ 写成 $\frac{1}{2}(2x-2\cos\alpha) + \cos\alpha$，以便拆分为两个积分：
$$\int \frac{x}{x^2-2x\cos\alpha+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x-2\cos\alpha}{x^2-2x\cos\alpha+1}dx + \cos\alpha \int \frac{dx}{x^2-2x\cos\alpha+1}.$$
公式：$x = \frac{1}{2}(2x-2\cos\alpha) + \cos\alpha$
提示：注意常数 $\cos\alpha$ 的系数，不要遗漏因子。
步骤 2/5
目标：处理第一个积分：凑微分法
第一个积分中，分子是分母的导数：$d(x^2-2x\cos\alpha+1) = (2x-2\cos\alpha)dx$，因此
$$\frac{1}{2}\int \frac{2x-2\cos\alpha}{x^2-2x\cos\alpha+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-2x\cos\alpha+1)}{x^2-2x\cos\alpha+1} = \frac{1}{2}\ln|x^2-2x\cos\alpha+1| + C_1.$$
公式：$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$
提示：注意绝对值符号，因为对数定义域为正。
步骤 3/5
目标：处理第二个积分：配方分母
将分母配方：
$$x^2-2x\cos\alpha+1 = (x-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha.$$
因此第二个积分为
$$\cos\alpha \int \frac{dx}{(x-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha}.$$
公式：$x^2-2x\cos\alpha+1 = (x-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha$
提示：注意 $\sin^2\alpha$ 非负，且 $\alpha \neq k\pi$ 保证 $\sin\alpha \neq 0$。
步骤 4/5
目标：变量代换并积分
令 $u = x-\cos\alpha$，则 $du = dx$，积分变为
$$\cos\alpha \int \frac{du}{u^2 + \sin^2\alpha} = \cos\alpha \cdot \frac{1}{\sin\alpha} \arctan\frac{u}{\sin\alpha} + C_2 = \cot\alpha \arctan\frac{x-\cos\alpha}{\sin\alpha} + C_2.$$
公式：$\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C$
提示：注意 $\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha$，且 $\sin\alpha$ 不为零。
步骤 5/5
目标：合并结果
将两个积分的结果相加，得到最终答案：
$$\int \frac{x}{x^2-2x\cos\alpha+1}dx = \frac{1}{2}\ln|x^2-2x\cos\alpha+1| + \cot\alpha \arctan\frac{x-\cos\alpha}{\sin\alpha} + C.$$
提示：合并常数 $C = C_1 + C_2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。