中册 4.1 不定积分计算 第21题
📝 题目
21．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x+1}-\frac{1}{2} \int \frac{x-1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{1}{2} \ln |x+1|-\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{2} \arctan x+C .
$$
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x=\int \frac{x-5}{(x+1)(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x=-\frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x+\frac{2}{3} \int \frac{1}{x-2} \mathrm{~d} x-\int \frac{1}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{2}{3} \ln \left|\frac{x-2}{x+1}\right|+\frac{1}{x-2}+C .
$$
（3）设 $\displaystyle \frac{1}{1+x^{3}}=\frac{1}{(1+x)\left(1-x+x^{2}\right)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B x+C}{1-x+x^{2}}$ ，得
$$
1=A\left(1-x+x^{2}\right)+(B x+C)(1+x)
$$
令 $x=-1$ ，得 $\displaystyle A=\frac{1}{3}$ 。再令 $x=0$ ，得 $A+C=1$ 。于是 $\displaystyle C=\frac{2}{3}$ 。比较上式两端二次幂的系数得 $\displaystyle B=-\frac{1}{3}$ 。因此
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}} & =\frac{1}{3} \int \frac{\mathrm{~d} x}{1+x}-\frac{1}{3} \int \frac{x-2}{1-x+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \ln |1+x|-\frac{1}{6} \int \frac{2 x-1}{1-x+x^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x+x^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{3} \ln |1+x|-\frac{1}{6} \ln \left(1-x+x^{2}\right)+\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{6} \ln \frac{(1+x)^{2}}{1-x+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}+C .
\end{aligned}
$$
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{x-1} \mathrm{~d} x-\int \frac{x+1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x-\int \frac{2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
=\ln |x-1|-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+\arctan x+\frac{1}{1+x^{2}}+C .
$$
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d}\left(x^{2}+2 x+5\right)=-\frac{1}{2\left(x^{2}+2 x+5\right)}+C$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{x^{2}-2 x+2+2 x-1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{x^{2}-2 x+2} \mathrm{~d} x+\int \frac{2 x-1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$
$$
\begin{aligned}
& =\int \frac{1}{1+(x-1)^{2}} \mathrm{~d} x+\int \frac{2 x-2+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =\arctan (x-1)+\int \frac{2 x-2}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x+\int \frac{1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{x-3}{2\left(x^{2}-2 x+2\right)}+\frac{3}{2} \arctan (x-1)+C
\end{aligned}
$$
（7）令 $\displaystyle x=a \tan t,|t|<\frac{\pi}{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}} & =\frac{1}{a^{3}} \int \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 a^{3}} \int(1+\cos 2 t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2 a^{3}}(t+\sin t \cos t)+C \\
& =\frac{1}{2 a^{3}}\left(\arctan \frac{x}{a}+\frac{a x}{x^{2}+a^{2}}\right)+C
\end{aligned}
$$
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\int \frac{\mathrm{d}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2}$
$$
=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C=\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \frac{x^{2}-1}{\sqrt{2} x}+C .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：因式分解分母
将分母 $x^3+x^2+x+1$ 进行因式分解：$x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^2+1)$。因此，积分化为 $\int \frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}$。
提示：注意分组分解法：$x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x^2+1)$。
步骤 2/4
目标：部分分式分解
设 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。通分后比较分子得：$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1)$。令 $x=-1$ 得 $A = \frac{1}{2}$；令 $x=0$ 得 $A+C=1$，故 $C = \frac{1}{2}$；比较 $x^2$ 系数得 $A+B=0$，故 $B = -\frac{1}{2}$。因此 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{x-1}{x^2+1}$。
提示：注意部分分式分解时，二次因子对应分子为一次式。
步骤 3/4
目标：分别积分
积分化为 $\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int \frac{x-1}{x^2+1}dx$。第一项为 $\frac{1}{2}\ln|x+1|$。第二项拆为 $\int \frac{x}{x^2+1}dx - \int \frac{1}{x^2+1}dx$，其中 $\int \frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)$，$\int \frac{1}{x^2+1}dx = \arctan x$。因此第二项为 $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln(x^2+1) - \arctan x\right) = -\frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x$。
公式：$\int \frac{dx}{x+1} = \ln|x+1|+C$, $\int \frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$, $\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$
提示：注意 $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ 的积分结果不要忘记系数 $\frac{1}{2}$。
步骤 4/4
目标：合并结果
将两部分相加得：$\frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C$。
提示：最终结果中的常数 $C$ 不要遗漏。
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