中册 4.1 不定积分计算 第22题
📝 题目
22．求下列积分．
（1） $\int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x=x \sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{~d} x=x \sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int\left(\sqrt{x^{2}+a^{2}}-\frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right) \mathrm{d} x$
$$
\begin{aligned}
& =x \sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x+\int \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{~d} x \\
& =x \sqrt{x^{2}+a^{2}}-\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x+a^{2} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)
\end{aligned}
$$
于是
$$
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)\right)+C
$$
（2）令 $\displaystyle x=a \sin t,-\frac{\pi}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求解积分 ∫√(a²+x²) dx
使用分部积分法。令 u = √(a²+x²), dv = dx，则 du = x/√(a²+x²) dx, v = x。于是 ∫√(a²+x²) dx = x√(a²+x²) - ∫ x²/√(a²+x²) dx。将 x² = (a²+x²) - a² 代入，得 ∫√(a²+x²) dx = x√(a²+x²) - ∫√(a²+x²) dx + a²∫ dx/√(a²+x²)。移项得 2∫√(a²+x²) dx = x√(a²+x²) + a² ln|x+√(a²+x²)| + C，所以 ∫√(a²+x²) dx = (1/2)[x√(a²+x²) + a² ln|x+√(a²+x²)|] + C。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意分部积分后出现原积分，需移项求解；对数项绝对值可省略，因为 x+√(a²+x²)>0。
步骤 2/6
目标：求解积分 ∫√(a²-x²) dx
令 x = a sin t, -π/2 < t < π/2，则 dx = a cos t dt，√(a²-x²) = a cos t。积分化为 ∫ a cos t · a cos t dt = a²∫ cos²t dt = a²∫ (1+cos2t)/2 dt = (a²/2)t + (a²/4) sin2t + C。回代：t = arcsin(x/a)，sin2t = 2 sin t cos t = 2(x/a)√(1-x²/a²) = (2x/a²)√(a²-x²)。所以原积分 = (a²/2) arcsin(x/a) + (x/2)√(a²-x²) + C。
公式：三角代换：x = a sin t，cos²t = (1+cos2t)/2
提示：注意代换后 t 的范围保证 cos t ≥ 0；回代时 sin2t 需用 x 表示。
步骤 3/6
目标：求解积分 ∫ x³√(4²+x²) dx
令 u = x²，则 du = 2x dx，x³ dx = (1/2) u du。积分化为 (1/2)∫ u √(16+u) du。再令 v = 16+u，则 u = v-16，du = dv，积分化为 (1/2)∫ (v-16)√v dv = (1/2)[∫ v^(3/2) dv - 16∫ v^(1/2) dv] = (1/2)[(2/5)v^(5/2) - 16*(2/3)v^(3/2)] + C = (1/5)v^(5/2) - (16/3)v^(3/2) + C。回代 v = 16+x²，得 (1/5)(16+x²)^(5/2) - (16/3)(16+x²)^(3/2) + C。
公式：换元法：令 u = x²，再令 v = 16+u
提示：注意 x³ dx 与 du 的关系；最后结果可化简，但保留原形式即可。
步骤 4/6
目标：求解积分 ∫ 2/(x+√(1-x²)) dx
令 x = sin t，则 dx = cos t dt，√(1-x²) = cos t，积分化为 ∫ 2 cos t/(sin t+cos t) dt。分子分母同除以 cos t 得 ∫ 2/(tan t+1) dt。令 u = tan t，则 dt = du/(1+u²)，积分化为 ∫ 2/((u+1)(1+u²)) du。用部分分式：2/((u+1)(1+u²)) = A/(u+1) + (Bu+C)/(1+u²)，解得 A=1, B=-1, C=1。积分得 ∫ [1/(u+1) - (u-1)/(1+u²)] du = ln|u+1| - (1/2)ln(1+u²) + arctan u + C。回代 u = tan t，得 ln|tan t+1| - (1/2)ln(sec²t) + t + C = ln|sin t+cos t| - ln|cos t| + t + C = ln|sin t+cos t| + t + C'。再回代 t = arcsin x，得 arcsin x + ln|x+√(1-x²)| + C。注意原积分有系数2，但结果中已包含。
公式：三角代换 x = sin t，部分分式分解
提示：部分分式分解时注意系数；最后结果可简化为 (1/2)arcsin x + (1/2)ln|x+√(1-x²)| + C，但原答案给出的是 (1/2)arcsin x + (1/2)ln(x+√(1-x²)) + C，注意系数。
步骤 5/6
目标：求解积分 ∫ dx/(x√(x²-1))
令 x = sec t，则 dx = sec t tan t dt，√(x²-1) = tan t，积分化为 ∫ (sec t tan t)/(sec t tan t) dt = ∫ dt = t + C = arcsec x + C。或者用另一种方法：∫ dx/(x√(x²-1)) = ∫ dx/(x²√(1-1/x²)) = -∫ d(1/x)/√(1-(1/x)²) = arccos(1/x) + C。注意 arcsec x 与 arccos(1/x) 等价。
公式：三角代换 x = sec t 或倒代换
提示：注意定义域 x>1 或 x<-1；结果可写为 arcsec|x| + C 或 arccos(1/|x|) + C。
步骤 6/6
目标：求解积分 ∫ dx/(x√(4-x²))
令 x = 2 sin t，则 dx = 2 cos t dt，√(4-x²) = 2 cos t，积分化为 ∫ (2 cos t)/(2 sin t · 2 cos t) dt = (1/2)∫ csc t dt = (1/2) ln|csc t - cot t| + C。回代：csc t = 2/x，cot t = √(4-x²)/x，所以原积分 = (1/2) ln| (2 - √(4-x²))/x | + C。
公式：三角代换 x = 2 sin t，∫ csc t dt = ln|csc t - cot t| + C
提示：注意分母有 x，代换后化简；结果中绝对值内可写为 (2-√(4-x²))/x，注意 x 正负。
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