中册 4.2 定积分计算 第1题
📝 题目
1．求下列积分．
（1） $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle x=a \sin t, 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^{2} t} \cos t \mathrm{~d} t=a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} \pi a^{2}$ ．
（2）令 $x=\sec t$ ，则
$$
\int \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x=\int \tan t \mathrm{~d} \sec t=\frac{1}{2}(\sec t \tan t-\ln |\sec t+\tan t|)+C=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{x^{2}-1}-\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|\right)+C
$$
从而 $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{2}\left(x \sqrt{x^{2}-1}-\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|\right)\right|_{1} ^{2}=\sqrt{3}-\frac{1}{2} \ln (2+\sqrt{3})$ ．
（3）令 $x=a \sin t$ ，则
$$
\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=a^{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=a^{4}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} t \mathrm{~d} t\right)=a^{4}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3 \pi}{16}\right)=\frac{\pi a^{4}}{16}
$$
（4）令 $x=a+a \sin t$ ，则
$$
\int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2 a} x \sqrt{a^{2}-(x-a)^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(a+a \sin t) \cdot a \cos t \cdot a \cos t \mathrm{~d} t=a^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} a^{3} \pi
$$
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \sqrt{x}|x-1| \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \sqrt{x}(1-x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{2} \sqrt{x}(x-1) \mathrm{d} x=\frac{4}{15}(2+\sqrt{2})$ ．
（6）令 $x=a \sin t$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{a} x^{2} \frac{a-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} x=a^{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{2} t-\sin ^{3} t\right) \mathrm{d} t \\
& =\frac{a^{3}}{2}\left(B\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)-B\left(\frac{1}{2}, 2\right)\right)=a^{3}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right) .
\end{aligned}
$$
（7）令 $x=\sin t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \frac{1}{\cos t} \sin t \mathrm{~d} t=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \mathrm{~d} t=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分类型并选择换元
观察积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$，被积函数含有 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$，适合使用三角换元 $x = a \sin t$，其中 $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$。
公式：三角换元：$x = a \sin t$，$\mathrm{d}x = a \cos t \mathrm{d}t$
提示：注意换元后积分限的变化：当 $x=0$ 时 $t=0$；当 $x=a$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$。
步骤 2/4
目标：进行换元并化简被积函数
代入 $x = a \sin t$，得 $\sqrt{a^{2}-x^{2}} = \sqrt{a^{2} - a^{2}\sin^{2}t} = a\cos t$（因为 $t \in [0,\frac{\pi}{2}]$，$\cos t \ge 0$）。于是积分变为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a\cos t \cdot a\cos t \mathrm{d}t = a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}t \mathrm{d}t$。
公式：$\sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos t$
提示：注意开方后取正值，因为 $\cos t$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 非负。
步骤 3/4
目标：计算三角函数积分
利用倍角公式 $\cos^{2}t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}t \mathrm{d}t = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2t}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left[t + \frac{1}{2}\sin 2t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\cos^{2}t = \frac{1+\cos 2t}{2}$
提示：计算定积分时注意代入上下限。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
将积分结果乘以 $a^{2}$，得到 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x = a^{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^{2}}{4}$。
提示：结果与 $a$ 的平方成正比，几何意义是半径为 $a$ 的圆的四分之一面积。
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