中册 4.2 定积分计算 第2题
📝 题目
2．求下列积分．
（1） $\int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=\sqrt[3]{1-x}$ ，则
$$
\int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{-2}\left(1-t^{3}\right) t \cdot\left(-3 t^{2}\right) \mathrm{d} t=3 \int_{-2}^{0} t^{3}\left(1-t^{3}\right) \mathrm{d} t=\left.3\left(\frac{1}{4} t^{4}-\frac{1}{7} t^{7}\right)\right|_{-2} ^{0}=-\frac{468}{7}
$$
（2）令 $t=\sqrt{2 x+1}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{3} \frac{\frac{1}{2}\left(t^{2}-1\right)+2}{t} t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int_{1}^{3}\left(t^{2}+3\right) \mathrm{d} t=\frac{22}{3}$ ．
（3）令 $t=\sqrt{x}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x=\int_{1}^{2} \frac{2 t}{t^{2}(1+t)} \mathrm{d} t=\left.2 \ln \frac{t}{t+1}\right|_{1} ^{2}=2 \ln \frac{4}{3}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}} \mathrm{~d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \arctan x \mathrm{~d} x^{2}$ ．
$$
\int_{0}^{1} \arctan x \mathrm{~d} x^{2}=\left.x^{2} \arctan x\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4}-\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{4}-\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}-1
$$
令 $u=\sqrt[3]{3 x+1}$ ，则
$$
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\sqrt[3]{4}} \frac{\frac{1}{3}\left(u^{3}-1\right)+1}{u} u^{2} \mathrm{~d} u=\frac{1}{3} \int_{1}^{\sqrt[3]{4}}\left(u^{4}+2 u\right) \mathrm{d} u=\frac{4^{\frac{5}{3}}}{15}-\frac{1}{15}+\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{5} 2^{\frac{4}{3}}-\frac{2}{5} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x=\frac{3}{5} 2^{\frac{4}{3}}+\frac{\pi}{4}-\frac{9}{10}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：第一题：换元积分
令 $t = \sqrt[3]{1-x}$，则 $x = 1 - t^3$，$\mathrm{d}x = -3t^2 \mathrm{d}t$。当 $x=1$ 时 $t=0$，$x=9$ 时 $t=\sqrt[3]{1-9} = -2$。积分变为：
$$\int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{-2} (1-t^3) t \cdot (-3t^2) \mathrm{d}t = 3 \int_{-2}^{0} t^3 (1-t^3) \mathrm{d}t = 3 \int_{-2}^{0} (t^3 - t^6) \mathrm{d}t.$$
公式：换元公式：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t$
提示：注意换元后积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 2/9
目标：第一题：计算积分
计算 $3 \int_{-2}^{0} (t^3 - t^6) \mathrm{d}t = 3 \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{t^7}{7} \right]_{-2}^{0} = 3 \left(0 - \left( \frac{(-2)^4}{4} - \frac{(-2)^7}{7} \right) \right) = 3 \left( - \left( \frac{16}{4} + \frac{128}{7} \right) \right) = 3 \left( -4 - \frac{128}{7} \right) = -\frac{468}{7}.$
公式：牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)$
提示：注意偶次幂和奇次幂的符号，$(-2)^4=16$，$(-2)^7=-128$，代入时小心。
步骤 3/9
目标：第二题：换元积分
令 $t = \sqrt{2x+1}$，则 $x = \frac{t^2-1}{2}$，$\mathrm{d}x = t \mathrm{d}t$。当 $x=0$ 时 $t=1$，$x=4$ 时 $t=3$。积分变为：
$$\int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2x+1}} \mathrm{d}x = \int_{1}^{3} \frac{\frac{t^2-1}{2}+2}{t} \cdot t \mathrm{d}t = \int_{1}^{3} \left( \frac{t^2-1}{2}+2 \right) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (t^2+3) \mathrm{d}t.$$
公式：换元公式
提示：注意 $\mathrm{d}x = t \mathrm{d}t$，不要遗漏。
步骤 4/9
目标：第二题：计算积分
计算 $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (t^2+3) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} + 3t \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{27}{3} + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) \right) = \frac{1}{2} \left( (9+9) - \frac{10}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{44}{3} = \frac{22}{3}.$
公式：牛顿-莱布尼茨公式
提示：计算时注意分数运算。
步骤 5/9
目标：第三题：换元积分
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t \mathrm{d}t$。当 $x=1$ 时 $t=1$，$x=4$ 时 $t=2$。积分变为：
$$\int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d}x = \int_{1}^{2} \frac{1}{t^2(1+t)} \cdot 2t \mathrm{d}t = 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{t(1+t)} \mathrm{d}t.$$
公式：换元公式
提示：注意 $\mathrm{d}x = 2t \mathrm{d}t$，化简时约去一个 $t$。
步骤 6/9
目标：第三题：计算积分
利用部分分式 $\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$，则
$$2 \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) \mathrm{d}t = 2 \left[ \ln|t| - \ln|1+t| \right]_{1}^{2} = 2 \left( \ln 2 - \ln 3 - (\ln 1 - \ln 2) \right) = 2 \left( 2\ln 2 - \ln 3 \right) = 2 \ln \frac{4}{3}.$$
公式：部分分式分解：$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$
提示：注意对数运算性质，$\ln 1 = 0$。
步骤 7/9
目标：第四题：拆分积分
将积分拆分为两部分：
$$\int_{0}^{1} \left( \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} + x \arctan x \right) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{d}x.$$
对于第二部分，使用分部积分：令 $u = \arctan x$，$\mathrm{d}v = x \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x$，$v = \frac{x^2}{2}$。于是
$$\int_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{d}x = \left. \frac{x^2}{2} \arctan x \right|_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.$$
公式：分部积分公式：$\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$
提示：注意分部积分时选择 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的顺序，以及 $\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = \arctan x + C$。
步骤 8/9
目标：第四题：第一部分的换元积分
令 $u = \sqrt[3]{3x+1}$，则 $x = \frac{u^3-1}{3}$，$\mathrm{d}x = u^2 \mathrm{d}u$。当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=1$ 时 $u=\sqrt[3]{4}$。积分变为：
$$\int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} \mathrm{d}x = \int_{1}^{\sqrt[3]{4}} \frac{\frac{u^3-1}{3}+1}{u} \cdot u^2 \mathrm{d}u = \frac{1}{3} \int_{1}^{\sqrt[3]{4}} (u^3+2) u \mathrm{d}u = \frac{1}{3} \int_{1}^{\sqrt[3]{4}} (u^4+2u) \mathrm{d}u.$$
计算得：
$$\frac{1}{3} \left[ \frac{u^5}{5} + u^2 \right]_{1}^{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{3} \left( \frac{4^{5/3}}{5} + 4^{2/3} - \frac{1}{5} - 1 \right) = \frac{4^{5/3}}{15} + \frac{4^{2/3}}{3} - \frac{2}{5}.$$
化简：$4^{5/3} = (2^2)^{5/3} = 2^{10/3}$，$4^{2/3} = 2^{4/3}$，所以结果为 $\frac{2^{10/3}}{15} + \frac{2^{4/3}}{3} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} 2^{4/3} - \frac{2}{5}$（注意 $\frac{2^{10/3}}{15} = \frac{2^{4/3} \cdot 2^2}{15} = \frac{4}{15} 2^{4/3}$，与 $\frac{2^{4/3}}{3} = \frac{5}{15} 2^{4/3}$ 相加得 $\frac{9}{15} 2^{4/3} = \frac{3}{5} 2^{4/3}$）。
公式：换元公式
提示：注意指数运算和化简，$4^{5/3} = (4^{1/3})^5$，但通常保留指数形式。
步骤 9/9
目标：第四题：合并结果
将两部分相加：
$$\int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}} \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{d}x = \left( \frac{3}{5} 2^{4/3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{5} 2^{4/3} + \frac{\pi}{4} - \frac{9}{10}.$$
提示：注意分数通分：$-\frac{2}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{9}{10}$。
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