中册 4.2 定积分计算 第3题
📝 题目
3．求下列积分．
（1） $\int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
解题过程：
（1） $\int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|x|}|1-x| \mathrm{d} x=\int_{-2}^{0} \mathrm{e}^{x}(1-x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}(1-x) \mathrm{d} x-\int_{1}^{2} \mathrm{e}^{-x}(1-x) \mathrm{d} x$
$$
=\left.\left(2-x \mathrm{e}^{x}\right)\right|_{-2} ^{0}+\left.x \mathrm{e}^{-x}\right|_{0} ^{1}-\left.x \mathrm{e}^{-x}\right|_{1} ^{2}=2+2 \mathrm{e}^{-1}-6 \mathrm{e}^{-2} .
$$
（2） $\int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x=\int_{1}^{2} \sqrt{x(2-x)} \mathrm{d} x+\int_{2}^{3} \sqrt{x(x-2)} \mathrm{d} x$
$$
\begin{aligned}
& =\int_{1}^{2} \sqrt{1-(x-1)^{2}} \mathrm{~d}(x-1)+\int_{2}^{3} \sqrt{(x-1)^{2}-1} \mathrm{~d}(x-1) \\
& =\frac{1}{2}[(x-1) \sqrt{x(2-x)}+\arcsin (x-1)]_{1}^{2}+\frac{1}{2}[(x-1) \sqrt{x(x-2)}-\ln (x-1+\sqrt{x(x-2)})]_{2}^{3} \\
& =\frac{\pi}{2}+\sqrt{3}-\frac{1}{2} \ln (2+\sqrt{3})
\end{aligned}
$$
（3） $\int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x=\int_{2}^{3} \ln [x] \mathrm{d} x+\int_{3}^{4} \ln [x] \mathrm{d} x+\cdots+\int_{n}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x$
$$
=\int_{2}^{3} \ln 2 \mathrm{~d} x+\int_{3}^{4} \ln 3 \mathrm{~d} x+\cdots+\int_{n}^{n+1} \ln n \mathrm{~d} x=\ln (n!)
$$
（4） $\int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{\ln 2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 2}^{\ln 3}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 3}^{\ln 4}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 4}^{\ln 5}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 5}^{\ln 6}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 6}^{\ln 7}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x+\int_{\ln 7}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$
$$
=\int_{0}^{\ln 2} 1 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 2}^{\ln 3} 2 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 3}^{\ln 4} 3 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 4}^{\ln 5} 4 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 5}^{\ln 6} 5 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 6}^{\ln 7} 6 \mathrm{~d} x+\int_{\ln 7}^{2} 7 \mathrm{~d} x=14-\ln 7!
$$
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x=\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{2} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{3} \frac{1}{2} \mathrm{~d} x=\frac{4}{3}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{2} \max \left\{x^{2}, 1\right\} \mathrm{d} x=2\left(\int_{0}^{1} 1 \mathrm{~d} x+\int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x\right)=2+\left.2\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{20}{3}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x=\int_{-1}^{\sqrt{2}} x^{2} 2 \mathrm{~d} x+\int_{\sqrt{2}}^{2} 2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3}(2 \sqrt{2}+1)+2(2-\sqrt{2})=\frac{1}{3}(13-4 \sqrt{2})$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分段处理绝对值与符号函数
被积函数含有绝对值 $|x|$ 和 $|1-x|$，需根据 $x$ 的范围去掉绝对值。积分区间为 $[-2,2]$，分界点为 $x=0$ 和 $x=1$。将积分拆分为三段：$[-2,0]$，$[0,1]$，$[1,2]$。在 $[-2,0]$ 上，$|x|=-x$，$|1-x|=1-x$；在 $[0,1]$ 上，$|x|=x$，$|1-x|=1-x$；在 $[1,2]$ 上，$|x|=x$，$|1-x|=x-1$。因此原积分化为：
$$\int_{-2}^{0} e^{x}(1-x) dx + \int_{0}^{1} e^{-x}(1-x) dx + \int_{1}^{2} e^{-x}(x-1) dx$$
提示：注意在 $[1,2]$ 上 $|1-x| = x-1$，符号不要弄反。
步骤 2/5
目标：计算第一段积分
计算 $\int_{-2}^{0} e^{x}(1-x) dx$。使用分部积分法，令 $u=1-x$，$dv=e^x dx$，则 $du=-dx$，$v=e^x$。
$$\int (1-x)e^x dx = (1-x)e^x + \int e^x dx = (1-x)e^x + e^x = (2-x)e^x$$
代入上下限：
$$[(2-x)e^x]_{-2}^{0} = (2-0)e^0 - (2-(-2))e^{-2} = 2 - 4e^{-2}$$
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：计算定积分时，注意代入上下限要小心符号。
步骤 3/5
目标：计算第二段积分
计算 $\int_{0}^{1} e^{-x}(1-x) dx$。令 $u=1-x$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=-dx$，$v=-e^{-x}$。
$$\int (1-x)e^{-x} dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = -(1-x)e^{-x} + e^{-x} = x e^{-x}$$
代入上下限：
$$[x e^{-x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{-1} - 0 = e^{-1}$$
提示：分部积分时注意符号，$\int e^{-x} dx = -e^{-x}$。
步骤 4/5
目标：计算第三段积分
计算 $\int_{1}^{2} e^{-x}(x-1) dx$。令 $u=x-1$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=dx$，$v=-e^{-x}$。
$$\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} = -x e^{-x}$$
代入上下限：
$$[-x e^{-x}]_{1}^{2} = (-2e^{-2}) - (-1e^{-1}) = -2e^{-2} + e^{-1}$$
提示：注意积分结果 $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$，不要遗漏负号。
步骤 5/5
目标：合并结果
将三段积分结果相加：
第一段：$2 - 4e^{-2}$
第二段：$e^{-1}$
第三段：$-2e^{-2} + e^{-1}$
总和：$2 - 4e^{-2} + e^{-1} - 2e^{-2} + e^{-1} = 2 + 2e^{-1} - 6e^{-2}$
提示：合并同类项时注意指数项系数。
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