中册 4.2 定积分计算 第4题
📝 题目
4．求下列积分．
（1） $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
利用分部积分法计算．
（1）令 $t=\sqrt{x+1}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{t} t \mathrm{~d} t=\left.2 t \mathrm{e}^{t}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}-2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=2 \mathrm{e}^{\sqrt{2}}(\sqrt{2}-1)$ ．
（2）令 $\sqrt[3]{x}=t$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} 3 t^{2} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=\left.\left(3 t^{2}-6 t+6\right) \mathrm{e}^{t}\right|_{0} ^{1}=3 \mathrm{e}-6$ ．
（3）方法 1：令 $y=\ln x$ ，则 $I=\int_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{y} \sin y \mathrm{~d} y$ 。由于 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{y} \sin y \mathrm{~d} y=\mathrm{e} \sin 1-\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{y} \cos y \mathrm{~d} y=\mathrm{e} \sin 1-\left(\mathrm{e} \cos 1-1+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{y} \sin y \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{e} \sin 1-\mathrm{e} \cos 1+1-I$.
所以
$$
\int_{1}^{e} \sin (\ln x) d x=\frac{1}{2}(e \sin 1-e \cos 1+1)
$$
方法 2：由于
$$
\int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x=\left.x \sin (\ln x)\right|_{1} ^{\mathrm{e}}-\int_{1}^{\mathrm{e}} \cos (\ln x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}(\sin 1-\cos 1)+1-\int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x .
$$
所以
$$
\int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}}{2}(\sin 1-\cos 1)+\frac{1}{2} .
$$
（4）因为
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=\left.\mathrm{e}^{x} \sin x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x \\
& =\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-\left.\mathrm{e}^{x} \cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}+1-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}+1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \frac{1-\cos 2 x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x\right)$ ．
因为 $\quad \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x=\left.\mathrm{e}^{x} \cos 2 x\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x}(-2 \sin 2 x) \mathrm{d} x=\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)-4 \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ．故 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{5}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)$ ．又因为 $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{\pi}-1$ ，故 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{2}{5}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)$ ．
（6）由（5）得 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x}\left(1-\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x=\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)-\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{3}{5}\left(\mathrm{e}^{\pi}-1\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：换元与分部积分求∫e^{√(x+1)}dx
令 $t=\sqrt{x+1}$，则 $x=t^2-1$，$dx=2t\,dt$，积分限：$x=0\Rightarrow t=1$，$x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}$。原积分化为 $\int_1^{\sqrt{2}} e^t \cdot 2t\,dt = 2\int_1^{\sqrt{2}} t e^t\,dt$。使用分部积分：$\int t e^t\,dt = t e^t - \int e^t\,dt = t e^t - e^t + C$。故 $2\left[ t e^t - e^t \right]_1^{\sqrt{2}} = 2\left( (\sqrt{2}e^{\sqrt{2}} - e^{\sqrt{2}}) - (1\cdot e - e) \right) = 2e^{\sqrt{2}}(\sqrt{2}-1)$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意换元后积分限的对应，以及分部积分公式的正确应用。
步骤 2/7
目标：换元与分部积分求∫e^{∛x}dx
令 $t=\sqrt[3]{x}$，则 $x=t^3$，$dx=3t^2\,dt$，积分限：$x=0\Rightarrow t=0$，$x=1\Rightarrow t=1$。原积分化为 $\int_0^1 e^t \cdot 3t^2\,dt = 3\int_0^1 t^2 e^t\,dt$。使用分部积分两次：先令 $u=t^2$，$dv=e^t dt$，得 $\int t^2 e^t\,dt = t^2 e^t - 2\int t e^t\,dt$；再对 $\int t e^t\,dt$ 分部积分得 $t e^t - e^t$。故 $\int t^2 e^t\,dt = t^2 e^t - 2(t e^t - e^t) = (t^2-2t+2)e^t$。代入得 $3[(t^2-2t+2)e^t]_0^1 = 3[(1-2+2)e - (0-0+2)e^0] = 3(e-2) = 3e-6$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：分部积分时注意符号，多次分部后要合并常数。
步骤 3/7
目标：换元与分部积分求∫sin(ln x)dx
方法一：令 $y=\ln x$，则 $x=e^y$，$dx=e^y dy$，积分限：$x=1\Rightarrow y=0$，$x=e\Rightarrow y=1$。原积分化为 $I=\int_0^1 e^y \sin y\,dy$。对 $I$ 分部积分：令 $u=\sin y$，$dv=e^y dy$，则 $du=\cos y dy$，$v=e^y$，得 $I = [e^y \sin y]_0^1 - \int_0^1 e^y \cos y\,dy = e\sin 1 - J$，其中 $J=\int_0^1 e^y \cos y\,dy$。再对 $J$ 分部积分：令 $u=\cos y$，$dv=e^y dy$，得 $J = [e^y \cos y]_0^1 + \int_0^1 e^y \sin y\,dy = e\cos 1 - 1 + I$。代入得 $I = e\sin 1 - (e\cos 1 - 1 + I)$，解得 $I = \frac{1}{2}(e\sin 1 - e\cos 1 + 1)$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意分部积分后出现循环，需解方程。
步骤 4/7
目标：直接分部积分求∫sin(ln x)dx（方法二）
直接对原积分 $I=\int_1^e \sin(\ln x)\,dx$ 分部积分：令 $u=\sin(\ln x)$，$dv=dx$，则 $du = \cos(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\,dx$，$v=x$。得 $I = [x\sin(\ln x)]_1^e - \int_1^e x\cdot \cos(\ln x)\cdot \frac{1}{x}\,dx = e\sin 1 - \int_1^e \cos(\ln x)\,dx$。再对 $\int_1^e \cos(\ln x)\,dx$ 分部积分：令 $u=\cos(\ln x)$，$dv=dx$，得 $\int_1^e \cos(\ln x)\,dx = [x\cos(\ln x)]_1^e + \int_1^e \sin(\ln x)\,dx = e\cos 1 - 1 + I$。代入得 $I = e\sin 1 - (e\cos 1 - 1 + I)$，解得 $I = \frac{1}{2}(e\sin 1 - e\cos 1 + 1)$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意求导时链式法则，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：分部积分求∫e^x sin x dx
令 $I=\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\,dx$。分部积分：令 $u=\sin x$，$dv=e^x dx$，则 $du=\cos x dx$，$v=e^x$。得 $I = [e^x \sin x]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\,dx = e^{\pi/2} - J$，其中 $J=\int_0^{\pi/2} e^x \cos x\,dx$。再对 $J$ 分部积分：令 $u=\cos x$，$dv=e^x dx$，得 $J = [e^x \cos x]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\,dx = (0 - 1) + I = I - 1$。代入得 $I = e^{\pi/2} - (I - 1)$，解得 $I = \frac{1}{2}(e^{\pi/2} + 1)$。
公式：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意 $\cos(\pi/2)=0$，$\cos 0=1$。
步骤 6/7
目标：利用三角恒等式与分部积分求∫e^x sin^2 x dx
利用 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，得 $I = \int_0^\pi e^x \sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\left( \int_0^\pi e^x\,dx - \int_0^\pi e^x \cos 2x\,dx \right) = \frac{1}{2}(A - B)$，其中 $A = e^\pi - 1$，$B = \int_0^\pi e^x \cos 2x\,dx$。对 $B$ 分部积分两次：令 $u=\cos 2x$，$dv=e^x dx$，得 $B = [e^x \cos 2x]_0^\pi + 2\int_0^\pi e^x \sin 2x\,dx = (e^\pi - 1) + 2C$，其中 $C=\int_0^\pi e^x \sin 2x\,dx$。再对 $C$ 分部积分：令 $u=\sin 2x$，$dv=e^x dx$，得 $C = [e^x \sin 2x]_0^\pi - 2\int_0^\pi e^x \cos 2x\,dx = 0 - 2B$。代入得 $B = (e^\pi - 1) + 2(-2B) = e^\pi - 1 - 4B$，解得 $B = \frac{1}{5}(e^\pi - 1)$。故 $I = \frac{1}{2}\left( (e^\pi - 1) - \frac{1}{5}(e^\pi - 1) \right) = \frac{2}{5}(e^\pi - 1)$。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，分部积分
提示：注意分部积分时符号变化，以及循环方程的求解。
步骤 7/7
目标：利用恒等式求∫e^x cos^2 x dx
利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，得 $\int_0^\pi e^x \cos^2 x\,dx = \int_0^\pi e^x (1-\sin^2 x)\,dx = \int_0^\pi e^x\,dx - \int_0^\pi e^x \sin^2 x\,dx = (e^\pi - 1) - \frac{2}{5}(e^\pi - 1) = \frac{3}{5}(e^\pi - 1)$。
公式：$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
提示：直接利用上一题结果，避免重复计算。
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