中册 4.2 定积分计算 第6题
📝 题目
6．求下列积分．
（1） $\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
利用分部积分法计算．
（1） $\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=\left.(x \ln x-x)\right|_{0} ^{1}=-1$ ．
（2）令 $t=1-x$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}-\ln t \mathrm{~d} t=\left.(t-t \ln t)\right|_{0} ^{1}=1$ ．
（3） $\int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x=\left.x \ln ^{2} x\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=-\left.2(x \ln x-x)\right|_{0} ^{1}=2$ ．
（4）$I_{n}=\int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x=\left.x \ln ^{n} x\right|_{0} ^{1}-n \int_{0}^{1}(\ln x)^{n-1} \mathrm{~d} x=-n I_{n-1}=(-1)^{2} n(n-1) I_{n-2}$
$$
=\cdots=(-1)^{n} n!\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=(-1)^{n} n!.
$$
（5）令 $t=x-1$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x & =\int_{0}^{\mathrm{c}}(1+t)^{2} \ln t \mathrm{~d} t=\frac{1}{3}\left[\left.(1+t)^{3} \ln t\right|_{0} ^{\mathrm{e}}-\int_{0}^{\mathrm{e}} \frac{(1+t)^{3}}{t} \mathrm{~d} t\right] \\
& =\left.\frac{1}{3}\left[(1+t)^{3} \ln t-\frac{1}{3} t^{3}-\frac{3}{2} t^{2}-3 t-\ln t\right]\right|_{0} ^{\mathrm{e}} \\
& =\left.\frac{1}{3}\left[\left(t^{3}+3 t^{2}+3 t\right) \ln t-\frac{1}{3} t^{3}-\frac{3}{2} t^{2}-3 t\right]\right|_{0} ^{\mathrm{e}}=\frac{2}{3} \mathrm{e}^{3}+\frac{3}{2} \mathrm{e}^{2}
\end{aligned}
$$
（6）令 $t=\sqrt{1+2 x}$ ，则
$$
\int_{0}^{1} \frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t}\left(t^{2}-1\right)\left[1+\frac{1}{2}\left(t^{2}-1\right)\right] \mathrm{t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{5}(\sqrt{3}+1) .
$$
又 $\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=-1$ ．故
$$
\int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=\frac{1}{5}(\sqrt{3}-4) .
$$
（7） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}^{-1}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x=\int_{\mathrm{e}^{-1}}^{1}(-\ln x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x=-\left.x(\ln x-1)\right|_{\mathrm{e}^{-1}} ^{\mathrm{l}}+\left.x(\ln x-1)\right|_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{e}}=1-\frac{2}{\mathrm{e}}+1=2-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算积分 (1) ∫₀¹ ln x dx
使用分部积分法，令 u = ln x, dv = dx，则 du = (1/x) dx, v = x。
∫ ln x dx = x ln x - ∫ x * (1/x) dx = x ln x - x + C。
代入上下限：
∫₀¹ ln x dx = [x ln x - x]₀¹ = (1·0 - 1) - lim_{x→0⁺} (x ln x - x) = -1 - 0 = -1。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意 x→0⁺ 时 x ln x → 0，可用洛必达法则或已知极限。
步骤 2/7
目标：计算积分 (2) ∫₀¹ ln(1/(1-x)) dx
化简被积函数：ln(1/(1-x)) = -ln(1-x)。
令 t = 1-x，则 dt = -dx，当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=0。
积分变为 ∫₁⁰ (-ln t)(-dt) = ∫₀¹ (-ln t) dt = -∫₀¹ ln t dt。
由 (1) 知 ∫₀¹ ln t dt = -1，所以原积分 = -(-1) = 1。
公式：换元积分法
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 3/7
目标：计算积分 (3) ∫₀¹ (ln x)² dx
使用分部积分法，令 u = (ln x)², dv = dx，则 du = 2 ln x * (1/x) dx, v = x。
∫ (ln x)² dx = x (ln x)² - ∫ x * 2 ln x / x dx = x (ln x)² - 2 ∫ ln x dx。
代入上下限：
∫₀¹ (ln x)² dx = [x (ln x)²]₀¹ - 2 ∫₀¹ ln x dx = (0 - 0) - 2*(-1) = 2。
公式：分部积分法
提示：x→0⁺ 时 x (ln x)² → 0，可用极限证明。
步骤 4/7
目标：计算积分 (4) ∫₀¹ (ln x)ⁿ dx
记 I_n = ∫₀¹ (ln x)ⁿ dx。使用分部积分法，令 u = (ln x)ⁿ, dv = dx，则 du = n (ln x)^{n-1} * (1/x) dx, v = x。
I_n = [x (ln x)ⁿ]₀¹ - n ∫₀¹ (ln x)^{n-1} dx = 0 - n I_{n-1} = -n I_{n-1}。
递推得 I_n = (-1)ⁿ n! I_0，而 I_0 = ∫₀¹ 1 dx = 1，所以 I_n = (-1)ⁿ n!。
公式：分部积分法递推
提示：注意边界项为零，递推时符号变化。
步骤 5/7
目标：计算积分 (5) ∫₁^{e+1} x² ln(x-1) dx
令 t = x-1，则 x = t+1, dx = dt，积分限变为 t 从 0 到 e。
积分 = ∫₀^e (t+1)² ln t dt = ∫₀^e (t²+2t+1) ln t dt。
使用分部积分法，先求 ∫ (t²+2t+1) ln t dt。
令 u = ln t, dv = (t²+2t+1) dt，则 du = (1/t) dt, v = (1/3)t³ + t² + t。
∫ (t²+2t+1) ln t dt = [(1/3)t³ + t² + t] ln t - ∫ [(1/3)t² + t + 1] dt = [(1/3)t³ + t² + t] ln t - (1/9)t³ - (1/2)t² - t + C。
代入上下限 0 到 e：
当 t=e 时，值为 [(1/3)e³ + e² + e] * 1 - (1/9)e³ - (1/2)e² - e = (2/9)e³ + (1/2)e²。
当 t→0⁺ 时，t ln t → 0，t² ln t → 0，t³ ln t → 0，所以极限为 0。
因此原积分 = (2/9)e³ + (1/2)e²。
公式：分部积分法
提示：注意 t→0⁺ 时 t^k ln t → 0 (k>0)，以及多项式展开。
步骤 6/7
目标：计算积分 (6) ∫₀¹ [x(1+x)/√(1+2x) + ln x] dx
先计算第一部分：令 t = √(1+2x)，则 x = (t²-1)/2, dx = t dt，当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=√3。
∫₀¹ x(1+x)/√(1+2x) dx = ∫₁^{√3} [((t²-1)/2) * (1+(t²-1)/2) / t] * t dt = ∫₁^{√3} (1/2)(t²-1) * (1 + (t²-1)/2) dt = ∫₁^{√3} (1/2)(t²-1) * ((t²+1)/2) dt = (1/4) ∫₁^{√3} (t⁴ - 1) dt = (1/4)[(1/5)t⁵ - t]₁^{√3} = (1/4)[(1/5)(9√3) - √3 - (1/5 - 1)] = (1/4)[(9√3/5 - √3) + 4/5] = (1/4)[(4√3/5) + 4/5] = (√3+1)/5。
第二部分 ∫₀¹ ln x dx = -1。
总和 = (√3+1)/5 - 1 = (√3 - 4)/5。
公式：换元积分法
提示：换元后注意化简，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：计算积分 (7) ∫_{e^{-1}}^{e} |ln x| dx
由于 ln x 在 (0,1) 为负，在 (1,∞) 为正，所以绝对值分界点为 x=1。
∫_{e^{-1}}^{e} |ln x| dx = ∫_{e^{-1}}^{1} (-ln x) dx + ∫_{1}^{e} ln x dx。
计算 ∫ (-ln x) dx = -∫ ln x dx = -(x ln x - x) + C = x - x ln x + C。
所以 ∫_{e^{-1}}^{1} (-ln x) dx = [x - x ln x]_{e^{-1}}^{1} = (1 - 0) - (e^{-1} - e^{-1} * (-1)) = 1 - (e^{-1} + e^{-1}) = 1 - 2/e。
∫_{1}^{e} ln x dx = [x ln x - x]_{1}^{e} = (e*1 - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1。
总和 = (1 - 2/e) + 1 = 2 - 2/e。
公式：绝对值积分分段处理
提示：注意 ln x 在 x=1 处为零，分段时积分限正确。
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