中册 4.2 定积分计算 第7题
📝 题目
7．求下列积分．
（1）设 $m, n$ 为正整数，求 $\int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $m=n$ ））
（2） $\int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $\ln t=-x$ ，则
$$
\int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t=-\int_{+\infty}^{0}(-1)^{m} \mathrm{e}^{-(n+1) x} x^{m} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty}(-1)^{m} \mathrm{e}^{-(n+1) x} x^{m} \mathrm{~d} x=(-1)^{m} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(n+1) x} x^{m} \mathrm{~d} x .
$$
再令 $u=(n+1) x$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(n+1) x} x^{m} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u}\left(\frac{u}{n+1}\right)^{m} \mathrm{~d} x=\frac{1}{(n+1)^{m}} \int_{0}^{+\infty} u^{m} \mathrm{e}^{-u} \mathrm{~d} x=\frac{1}{(n+1)^{m}} \Gamma(m+1)=\frac{m!}{(n+1)^{m}} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t=(-1)^{m} \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}
$$
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d}\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\left.x^{2} \ln x\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x\right)=-\left.\frac{1}{4} x^{2}\right|_{0} ^{1}=-\frac{1}{4}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d}\left(x^{3}\right)=\frac{1}{3}\left[\left.x^{3}(\ln x)^{2}\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x\right]$
$$
=-\frac{2}{3^{2}}\left[\left.\left(x^{3} \ln x\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x\right]=\frac{2}{3^{3}} .
$$
（4） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4} \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{3} x \mathrm{~d}\left(x^{4}\right)=\left.\frac{1}{4} x^{4} \ln ^{3} x\right|_{0} ^{\mathrm{e}}-\frac{3}{4} \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{3} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{4}}{4}-\frac{3}{16} \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{2} x \mathrm{~d}\left(x^{4}\right)$
$$
=\frac{13}{16} e^{4}-\frac{3}{16} \int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x=\frac{13}{16} e^{4}-\left.\frac{3}{64}\left(x^{4} \ln x-\frac{1}{4} x^{4}\right)\right|_{0} ^{e}=\frac{199}{256} e^{4}-\frac{1}{256} .
$$
（5）由（1）得 $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x=\frac{2006!}{2^{2007}}$ ．
（6）由（1）得 $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x=\frac{2012!}{2^{2013}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：变量替换化简积分
令 $\ln t = -x$，则 $t = e^{-x}$，$\mathrm{d}t = -e^{-x}\mathrm{d}x$。当 $t=0$ 时 $x=+\infty$，当 $t=1$ 时 $x=0$。代入得：
$$\int_0^1 t^n (\ln t)^m \mathrm{d}t = \int_{+\infty}^0 e^{-nx} (-x)^m (-e^{-x})\mathrm{d}x = \int_{+\infty}^0 (-1)^m e^{-(n+1)x} x^m \mathrm{d}x = (-1)^m \int_0^{+\infty} e^{-(n+1)x} x^m \mathrm{d}x.$$
公式：变量替换公式
提示：注意积分限的变化和符号处理，$\ln t$ 在 $t\to 0^+$ 时趋于 $-\infty$，替换后 $x\to +\infty$。
步骤 2/8
目标：化为Gamma函数
令 $u = (n+1)x$，则 $x = \frac{u}{n+1}$，$\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{n+1}$。代入得：
$$\int_0^{+\infty} e^{-(n+1)x} x^m \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} e^{-u} \left(\frac{u}{n+1}\right)^m \frac{\mathrm{d}u}{n+1} = \frac{1}{(n+1)^{m+1}} \int_0^{+\infty} u^m e^{-u} \mathrm{d}u = \frac{1}{(n+1)^{m+1}} \Gamma(m+1).$$
公式：$\Gamma(m+1) = \int_0^{+\infty} u^m e^{-u} \mathrm{d}u$
提示：注意 $\mathrm{d}x$ 的变换，$\Gamma$ 函数定义中指数为 $u$ 而非 $x$。
步骤 3/8
目标：利用Gamma函数性质
由于 $m$ 为正整数，$\Gamma(m+1) = m!$。因此：
$$\int_0^1 t^n (\ln t)^m \mathrm{d}t = (-1)^m \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}.$$
公式：$\Gamma(m+1)=m!$
提示：注意 $(-1)^m$ 的符号，$m$ 为奇数时结果为负。
步骤 4/8
目标：计算第(2)小题
利用分部积分法：
$$\int_0^1 x \ln x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^1 \ln x \mathrm{d}(x^2) = \frac{1}{2} \left[ x^2 \ln x \Big|_0^1 - \int_0^1 x^2 \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = \frac{1}{2} \left(0 - \int_0^1 x \mathrm{d}x \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.$$
公式：分部积分公式 $\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$
提示：注意 $x^2 \ln x$ 在 $x=0$ 处极限为0，需用极限处理。
步骤 5/8
目标：计算第(3)小题
利用分部积分法：
$$\int_0^1 x^2 (\ln x)^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \int_0^1 (\ln x)^2 \mathrm{d}(x^3) = \frac{1}{3} \left[ x^3 (\ln x)^2 \Big|_0^1 - 2 \int_0^1 x^3 \ln x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = -\frac{2}{3} \int_0^1 x^2 \ln x \mathrm{d}x.$$
再对 $\int_0^1 x^2 \ln x \mathrm{d}x$ 分部积分：
$$\int_0^1 x^2 \ln x \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \int_0^1 \ln x \mathrm{d}(x^3) = \frac{1}{3} \left[ x^3 \ln x \Big|_0^1 - \int_0^1 x^3 \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = -\frac{1}{3} \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = -\frac{1}{9}.$$
因此原积分 $= -\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{2}{27}.$
公式：分部积分法
提示：注意每次分部积分后边界项的处理，$x^3 (\ln x)^2$ 在 $x=0$ 处极限为0。
步骤 6/8
目标：计算第(4)小题
利用分部积分法：
$$\int_1^e (x \ln x)^3 \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int_1^e \ln^3 x \mathrm{d}(x^4) = \frac{1}{4} \left[ x^4 \ln^3 x \Big|_1^e - 3 \int_1^e x^4 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = \frac{e^4}{4} - \frac{3}{4} \int_1^e x^3 \ln^2 x \mathrm{d}x.$$
再对 $\int_1^e x^3 \ln^2 x \mathrm{d}x$ 分部积分：
$$\int_1^e x^3 \ln^2 x \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int_1^e \ln^2 x \mathrm{d}(x^4) = \frac{1}{4} \left[ x^4 \ln^2 x \Big|_1^e - 2 \int_1^e x^4 \ln x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{2} \int_1^e x^3 \ln x \mathrm{d}x.$$
再对 $\int_1^e x^3 \ln x \mathrm{d}x$ 分部积分：
$$\int_1^e x^3 \ln x \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int_1^e \ln x \mathrm{d}(x^4) = \frac{1}{4} \left[ x^4 \ln x \Big|_1^e - \int_1^e x^4 \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{4} \int_1^e x^3 \mathrm{d}x = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{16}(e^4-1) = \frac{3e^4+1}{16}.$$
回代得：
$$\int_1^e x^3 \ln^2 x \mathrm{d}x = \frac{e^4}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3e^4+1}{16} = \frac{4e^4}{16} - \frac{3e^4+1}{32} = \frac{8e^4 - 3e^4 -1}{32} = \frac{5e^4-1}{32}.$$
再回代：
$$\int_1^e (x \ln x)^3 \mathrm{d}x = \frac{e^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{5e^4-1}{32} = \frac{8e^4}{32} - \frac{15e^4-3}{128} = \frac{32e^4}{128} - \frac{15e^4-3}{128} = \frac{17e^4+3}{128}.$$
公式：分部积分法
提示：注意积分限从1到e，边界项代入后需仔细计算，避免代数错误。
步骤 7/8
目标：计算第(5)小题
由第(1)小题的结论，令 $n=1$，$m=2006$，得：
$$\int_0^1 x (\ln x)^{2006} \mathrm{d}x = (-1)^{2006} \frac{2006!}{(1+1)^{2006+1}} = \frac{2006!}{2^{2007}}.$$
公式：第(1)小题结论
提示：注意 $(-1)^{2006}=1$，指数 $m+1=2007$。
步骤 8/8
目标：计算第(6)小题
由第(1)小题的结论，令 $n=1$，$m=2012$，得：
$$\int_0^1 x (\ln x)^{2012} \mathrm{d}x = (-1)^{2012} \frac{2012!}{(1+1)^{2012+1}} = \frac{2012!}{2^{2013}}.$$
公式：第(1)小题结论
提示：注意 $(-1)^{2012}=1$，指数 $m+1=2013$。
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