中册 4.2 定积分计算 第10题
📝 题目
10．求下列积分．
（1） $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta=\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta}|\cos \theta| \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \theta} \cos \theta \mathrm{~d} \theta-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{\sin \theta} \cos \theta \mathrm{d} \theta$
$$
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \theta} \mathrm{~d} \sin \theta-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{\sin \theta} \mathrm{d} \sin \theta=\frac{2}{3}\left[\left.(\sin \theta)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.(\sin \theta)^{\frac{3}{2}}\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}\right]=\frac{4}{3} .
$$
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin x \mathrm{~d} x=-\left.\frac{4}{3}(\cos x)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{3}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$
$\displaystyle =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x} \sin x \mathrm{~d} x=-\left.\frac{4}{3}(\cos x)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{3}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|\sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right| \mathrm{d} \theta=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) \mathrm{d} \theta-\sqrt{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) \mathrm{d} \theta$
$$
=\sqrt{2}\left[\left.\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-\left.\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}}\right]=\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) .
$$
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| \mathrm{d} x=-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x=2 \sqrt{2}-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{1-\cos x} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos x} \mathrm{~d} x=2 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x=4 \sqrt{2}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right| \mathrm{d} x=\sqrt{2} \int_{0}^{2 \pi}\left|\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right| \mathrm{d} x$
$$
=\sqrt{2}\left[\int_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{d} x-\int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{d} x\right]=4 \sqrt{2}
$$
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x=n \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x=n \int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x| \mathrm{d} x=\sqrt{2} n \int_{0}^{\pi}\left|\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right| \mathrm{d} x$
$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{2} n \int_{0}^{\pi}\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right| \mathrm{d} x \xlongequal{x-\frac{\pi}{4}=t} \sqrt{2} n \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\pi-\frac{\pi}{4}}|\sin t| \mathrm{d} t \\
& =\sqrt{2} n \int_{0}^{\pi}|\sin t| \mathrm{d} t=\sqrt{2} n \int_{0}^{\pi} \sin t \mathrm{~d} t=2 \sqrt{2} n
\end{aligned}
$$
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2}\left|\cos \frac{x}{2}\right| \mathrm{d} x=\sqrt{2}\left(\int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x-\int_{\pi}^{2 \pi} \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x\right)=4 \sqrt{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数
原积分 $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ 中，被积函数可化为 $\sqrt{\sin \theta(1-\sin^2 \theta)} = \sqrt{\sin \theta \cos^2 \theta} = \sqrt{\sin \theta} |\cos \theta|$。
公式：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
提示：注意 $\cos\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上符号变化，需加绝对值。
步骤 2/4
目标：分段积分去掉绝对值
由于 $\cos\theta$ 在 $[0,\pi/2]$ 非负，在 $(\pi/2,\pi]$ 非正，故积分化为 $\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin\theta} \cos\theta \mathrm{d}\theta - \int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{\sin\theta} \cos\theta \mathrm{d}\theta$。
提示：注意第二项积分前有负号，因为 $|\cos\theta| = -\cos\theta$ 在 $(\pi/2,\pi]$。
步骤 3/4
目标：换元积分
令 $u = \sin\theta$，则 $\mathrm{d}u = \cos\theta \mathrm{d}\theta$。第一积分：$\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin\theta} \cos\theta \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{1} \sqrt{u} \mathrm{d}u = \frac{2}{3}$。第二积分：$\int_{\pi/2}^{\pi} \sqrt{\sin\theta} \cos\theta \mathrm{d}\theta = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \mathrm{d}u = -\frac{2}{3}$。
公式：$\int \sqrt{u} \mathrm{d}u = \frac{2}{3}u^{3/2}+C$
提示：注意积分限变化：当 $\theta$ 从 $\pi/2$ 到 $\pi$ 时，$u$ 从 $1$ 到 $0$。
步骤 4/4
目标：计算最终结果
原积分 $= \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$。
提示：注意第二项积分结果代入时符号：原式减第二项，第二项本身为负，故减负得正。
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