中册 4.2 定积分计算 第9题
📝 题目
9．求证下列问题．
（1）证明：当 $x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle \int_{\ln 2}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-t}}=\int_{\ln 2}^{x} \frac{\mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{t}-1}=\left.\ln \left(\mathrm{e}^{t}-1\right)\right|_{\ln 2} ^{x}=\ln \left(\mathrm{e}^{x}-1\right)$ ，所以 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-t}}}=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\ln \left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}=1$ ．
（2）令 $u=\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}$ ，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\int \frac{1}{u} \frac{2 u}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u=2 \int \frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u=2 \arctan u+C=2 \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}+C
$$
于是
$$
\int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{\prime}-1}}=\left.2 \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{\prime}-1}\right|_{x} ^{2 \ln 2}=2 \arctan \sqrt{3}-2 \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}=\frac{2 \pi}{3}-2 \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}=\frac{\pi}{6} .
$$
所以 $\displaystyle \frac{\pi}{4}=\arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$ ，即 $\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}=1$ 。故 $x=\ln 2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简积分表达式
对于(1)，计算积分 $\int_{\ln 2}^{x} \frac{dt}{1-e^{-t}}$。分子分母同乘 $e^t$ 得 $\int_{\ln 2}^{x} \frac{e^t dt}{e^t-1}$。
公式：$\frac{1}{1-e^{-t}} = \frac{e^t}{e^t-1}$
提示：注意 $e^{-t}$ 的倒数变换，避免符号错误。
步骤 2/8
目标：计算定积分
令 $u=e^t-1$，则 $du=e^t dt$，积分变为 $\int_{1}^{e^x-1} \frac{du}{u} = \ln(e^x-1)$。
公式：$\int \frac{du}{u} = \ln|u|$
提示：积分下限：当 $t=\ln 2$ 时，$u=e^{\ln 2}-1=1$；上限：$t=x$ 时，$u=e^x-1$。
步骤 3/8
目标：代入原式证明恒等式
原式左边为 $e^x - e^{\int_{\ln 2}^{x} \frac{dt}{1-e^{-t}}} = e^x - e^{\ln(e^x-1)} = e^x - (e^x-1) = 1$。
公式：$e^{\ln A}=A$
提示：注意 $e^x-1>0$ 当 $x>0$，所以绝对值可去掉。
步骤 4/8
目标：换元法处理积分（2）
对于(2)，令 $u=\sqrt{e^t-1}$，则 $u^2=e^t-1$，$e^t=1+u^2$，$dt = \frac{2u}{1+u^2} du$。代入得 $\int \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{2u}{1+u^2} du = 2\int \frac{du}{1+u^2}$。
公式：$dt = \frac{2u}{1+u^2} du$
提示：换元时注意微分变换的准确性，避免漏掉系数。
步骤 5/8
目标：计算不定积分
$2\int \frac{du}{1+u^2} = 2\arctan u + C = 2\arctan\sqrt{e^t-1} + C$。
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u$
提示：不要忘记常数 $C$，但定积分计算时会抵消。
步骤 6/8
目标：代入上下限
定积分 $\int_{x}^{2\ln 2} \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}} = \left[2\arctan\sqrt{e^t-1}\right]_{x}^{2\ln 2} = 2\arctan\sqrt{e^{2\ln 2}-1} - 2\arctan\sqrt{e^x-1} = 2\arctan\sqrt{3} - 2\arctan\sqrt{e^x-1}$。
公式：$e^{2\ln 2}=4$
提示：计算 $e^{2\ln 2}=4$，所以 $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
步骤 7/8
目标：利用已知值求解方程
已知 $\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$，所以 $2\cdot\frac{\pi}{3} - 2\arctan\sqrt{e^x-1} = \frac{\pi}{6}$，整理得 $2\arctan\sqrt{e^x-1} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$，即 $\arctan\sqrt{e^x-1} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$
提示：注意角度单位是弧度。
步骤 8/8
目标：解出 x
由 $\arctan\sqrt{e^x-1} = \frac{\pi}{4}$ 得 $\sqrt{e^x-1} = 1$，所以 $e^x-1=1$，$e^x=2$，$x=\ln 2$。
公式：$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
提示：注意 $x$ 的范围需满足 $e^x-1>0$，即 $x>0$，$\ln 2>0$ 符合。
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