中册 4.2 定积分计算 第21题
📝 题目
21．设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
显然 $f(|\cos x|)$ 是 $\mathbf{R}$ 上以 $\pi$ 为周期的连续函数，故 $\int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ，则
$$
\int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x
$$
令 $x=\pi-t$ ，则
所以
$$
\begin{aligned}
& \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(|\cos (\pi-t)|) \mathrm{d}(\pi-t)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x \\
& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数周期性
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 连续，且 $|\cos x|$ 是周期为 $\pi$ 的偶函数，因此 $f(|\cos x|)$ 是 $\mathbf{R}$ 上以 $\pi$ 为周期的连续函数。故有 $\int_{0}^{2\pi} f(|\cos x|) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx$。
公式：周期函数积分性质：$\int_{0}^{2\pi} g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} g(x) \, dx$ 当 $g$ 以 $\pi$ 为周期。
提示：注意 $|\cos x|$ 的周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。
步骤 2/6
目标：拆分积分区间
将 $[0,\pi]$ 上的积分拆分为 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 和 $[\frac{\pi}{2},\pi]$ 两部分：
$$\int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx.$$
提示：拆分区间时注意端点处理。
步骤 3/6
目标：变量代换处理后半部分积分
对 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx$ 作变量代换 $x = \pi - t$，则 $dx = -dt$，当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时 $t = \frac{\pi}{2}$，当 $x = \pi$ 时 $t = 0$。于是
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(|\cos(\pi - t)|) \, (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|-\cos t|) \, dt.$$
公式：变量代换公式：$\int_a^b g(x) \, dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} g(\phi(t)) \phi'(t) \, dt$。
提示：注意代换后积分限的变化，以及 $|\cos(\pi - t)| = | -\cos t| = |\cos t|$。
步骤 4/6
目标：利用绝对值性质简化
由于 $|\cos(\pi - t)| = | -\cos t| = |\cos t|$，且 $f$ 的定义域为 $[0,1]$，因此 $f(|-\cos t|) = f(|\cos t|)$。于是
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos t|) \, dt.$$
公式：绝对值性质：$| -a | = |a|$。
提示：注意 $f$ 的自变量是 $|\cos x|$，范围在 $[0,1]$，所以 $f$ 的表达式不变。
步骤 5/6
目标：合并积分结果
由第2步和第4步，得到
$$\int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx.$$
提示：注意积分变量是哑变量，可以任意命名。
步骤 6/6
目标：代入周期性质得到最终结果
由第1步，$\int_{0}^{2\pi} f(|\cos x|) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} f(|\cos x|) \, dx$，代入第5步结果得
$$\int_{0}^{2\pi} f(|\cos x|) \, dx = 2 \cdot 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx.$$
两边除以4即得
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} f(|\cos x|) \, dx.$$
提示：注意系数不要算错。
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