中册 4.2 定积分计算 第20题
📝 题目
20．设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\lambda=2009$ ），北京理工 $2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
作变量替换，令 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$ ，则 $\mathrm{d} x=-\mathrm{d} t$ ，于是 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\cos x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x$ ．
利用此结论得：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。于是
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4} .
$$
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{\lambda}}{(\sin x)^{\lambda}+(\cos x)^{\lambda}} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^{\lambda}}{(\sin x)^{\lambda}+(\cos x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．故
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^{\lambda}+(\cos x)^{\lambda}}{(\sin x)^{\lambda}+(\cos x)^{\lambda}} d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d x=\frac{\pi}{4}
$$
（3）记 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．由于 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\cos x+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，所以
$$
2 I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\cos x+\sin x} d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x} d x
$$
$$
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)} \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \left(\sec \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln 2 .
$$
（4）令 $x=\sin t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明积分恒等式
令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=0$。于是
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = -\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\cos t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx.
\]
公式：变量替换公式：$\int_a^b f(x)dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t))\phi'(t)dt$
提示：注意积分限的变化，替换后要调整上下限。
步骤 2/7
目标：计算积分（1）
由恒等式，$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} dx$。设 $I$ 为这两个积分，则
\[
2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2},
\]
所以 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：恒等式：$\int_0^{\pi/2} f(\sin x)dx = \int_0^{\pi/2} f(\cos x)dx$
提示：注意两个积分相等，相加后分子分母抵消。
步骤 3/7
目标：计算积分（2）
将 $\frac{1}{1+(\tan x)^\lambda}$ 化为 $\frac{(\cos x)^\lambda}{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda}$。由恒等式，该积分等于 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^\lambda}{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda} dx$。设 $I$ 为这两个积分，则
\[
2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda}{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2},
\]
所以 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：恒等式及 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
提示：注意 $\lambda$ 为任意实数，结果与 $\lambda$ 无关。
步骤 4/7
目标：计算积分（3）第一步：利用恒等式
记 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sin x+\cos x} dx$。由恒等式，$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\cos x+\sin x} dx$。两式相加得
\[
2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x} dx.
\]
公式：恒等式及 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$
提示：注意分子相加后化简为1。
步骤 5/7
目标：计算积分（3）第二步：计算 $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x+\cos x} dx$
将分母化为 $\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$，则
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos u} du,
\]
其中 $u = x-\frac{\pi}{4}$。利用 $\int \sec u du = \ln|\sec u+\tan u|+C$，得
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \ln(\sec u+\tan u) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(\sqrt{2}-1) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln( (\sqrt{2}+1)^2 ) = \frac{2}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2} \ln(\sqrt{2}+1).
\]
公式：$\sin x+\cos x = \sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$，$\int \sec u du = \ln|\sec u+\tan u|+C$
提示：注意积分限变换，以及 $\ln(\sqrt{2}+1)-\ln(\sqrt{2}-1)=\ln((\sqrt{2}+1)^2)$。
步骤 6/7
目标：计算积分（3）第三步：得出结果
由 $2I = \sqrt{2} \ln(\sqrt{2}+1)$，得 $I = \frac{\sqrt{2}}{2} \ln(\sqrt{2}+1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2}+1)$。
提示：注意化简结果，也可写成 $\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln 2$？实际上 $\ln(\sqrt{2}+1)=\frac{1}{2}\ln(3+2\sqrt{2})$，但原答案给出 $\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln 2$ 有误，应为 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}+1)$。
步骤 7/7
目标：计算积分（4）
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$。于是
\[
\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin t+\cos t} dt.
\]
由（1）的结果，该积分等于 $\frac{\pi}{4}$。
公式：变量替换 $x=\sin t$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$
提示：注意 $\sqrt{1-x^2}$ 在 $[0,1]$ 上非负，开方得 $\cos t$。
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