中册 4.2 定积分计算 第19题
📝 题目
19．计算计算积分．
（1）$\sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $n$ 为正整数．
（3） $\int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $n$ 为自然数。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $|\sin x|$ 以 $\pi$ 为周期，所以 $\sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x=n \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x=n \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=-\left.n \cos x\right|_{0} ^{\pi}=2 n$ ．
（2）记 $I=\int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ 。令 $x=n \pi-t$ ，则
$$
\begin{aligned}
I & =\int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=-\int_{n \pi}^{0}(n \pi-t)|\sin t| \mathrm{d} t=\int_{0}^{n \pi}(n \pi-t)|\sin t| \mathrm{d} t \\
& =\int_{0}^{n \pi} n \pi|\sin t| \mathrm{d} t-\int_{0}^{n \pi} t|\sin t| \mathrm{d} t=\int_{0}^{n \pi} n \pi|\sin t| \mathrm{d} t-I
\end{aligned}
$$
所以
$$
I=\frac{n \pi}{2} \int_{0}^{n \pi}|\sin t| \mathrm{d} t=\frac{n^{2} \pi}{2} \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x=n^{2} \pi .
$$
（3）令 $t=n x$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{1}{n^{2}} \int_{0}^{n \pi} t|\sin t| \mathrm{d} t=\pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算第一个积分：利用周期性
由于 $|\sin x|$ 以 $\pi$ 为周期，所以每个区间 $[(k-1)\pi, k\pi]$ 上的积分相等。因此，
$$\sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |\sin x| \, dx = n \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx.$$
在 $[0,\pi]$ 上，$\sin x \geq 0$，故 $|\sin x| = \sin x$。计算得
$$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1+1=2.$$
所以原式 $= n \cdot 2 = 2n$。
公式：$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2$
提示：注意 $|\sin x|$ 的周期为 $\pi$，且在一个周期内积分值相同。
步骤 2/6
目标：计算第二个积分：变量代换
记 $I = \int_{0}^{n\pi} x |\sin x| \, dx$。令 $x = n\pi - t$，则 $dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=n\pi$，$x=n\pi$ 时 $t=0$。于是
$$I = \int_{n\pi}^{0} (n\pi - t) |\sin(n\pi - t)| (-dt) = \int_{0}^{n\pi} (n\pi - t) |\sin t| \, dt,$$
因为 $|\sin(n\pi - t)| = |\sin t|$。
公式：$\sin(n\pi - t) = (-1)^{n-1}\sin t$，绝对值后为 $|\sin t|$
提示：注意积分限变换和绝对值性质。
步骤 3/6
目标：建立方程求解 I
将上式展开：
$$I = \int_{0}^{n\pi} n\pi |\sin t| \, dt - \int_{0}^{n\pi} t |\sin t| \, dt = n\pi \int_{0}^{n\pi} |\sin t| \, dt - I.$$
移项得 $2I = n\pi \int_{0}^{n\pi} |\sin t| \, dt$，所以
$$I = \frac{n\pi}{2} \int_{0}^{n\pi} |\sin t| \, dt.$$
公式：积分线性性质
提示：注意 $\int_{0}^{n\pi} t|\sin t| dt = I$。
步骤 4/6
目标：计算 $\int_{0}^{n\pi} |\sin t| dt$
由周期性，$|\sin t|$ 以 $\pi$ 为周期，且 $\int_{0}^{\pi} |\sin t| dt = 2$，所以
$$\int_{0}^{n\pi} |\sin t| dt = n \int_{0}^{\pi} |\sin t| dt = n \cdot 2 = 2n.$$
代入得 $I = \frac{n\pi}{2} \cdot 2n = n^2 \pi$。
公式：$\int_{0}^{n\pi} |\sin t| dt = 2n$
提示：注意周期为 $\pi$，不是 $2\pi$。
步骤 5/6
目标：计算第三个积分：变量代换
令 $t = nx$，则 $x = t/n$，$dx = dt/n$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=\pi$ 时 $t=n\pi$。于是
$$\int_{0}^{\pi} x |\sin nx| \, dx = \int_{0}^{n\pi} \frac{t}{n} |\sin t| \cdot \frac{dt}{n} = \frac{1}{n^2} \int_{0}^{n\pi} t |\sin t| \, dt.$$
公式：变量代换 $t=nx$
提示：注意 $dx = dt/n$，且 $x = t/n$。
步骤 6/6
目标：利用第二个积分结果
由第（2）问结果，$\int_{0}^{n\pi} t |\sin t| \, dt = n^2 \pi$，代入得
$$\frac{1}{n^2} \cdot n^2 \pi = \pi.$$
所以原积分 $= \pi$。
公式：第（2）问结果
提示：注意 $n$ 为正整数，结果与 $n$ 无关。
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