中册 4.2 定积分计算 第18题
📝 题目
18．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
作变量替换，令 $t=\pi-x$ ，有
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x & =\int_{\pi}^{0}(\pi-t) f(\sin (\pi-t)) \mathrm{d}(\pi-t)=\int_{0}^{\pi} \pi f(\sin t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\pi} t f(\sin t) \mathrm{d} t \\
& =\int_{0}^{\pi} \pi f(\sin x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
所以
$$
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x
$$
利用此结论得：
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d}(\cos x)=-\left.\frac{\pi}{2}(\arctan (\cos x))\right|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 。作变量替换，令 $t=\pi-x$ ，则
$$
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2}(\pi-t)} \mathrm{d}(\pi-t)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t
$$
于是 $\displaystyle I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d}(\tan x)=\left.\frac{\pi}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^{2}}{2 \sqrt{2}}$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=2+\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$
$$
=2-\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} d(\cos x)=2-\left.\frac{\pi}{2} \arctan (\cos x)\right|_{0} ^{\pi}=2+\frac{\pi^{2}}{4}
$$
注：$\displaystyle \frac{x \sin ^{2} x}{1+\cos x}$ 在 $[-1,1]$ 为奇函数．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{1+\cos ^{2} x}$
$$
=-\left.\frac{\pi}{2}(\arctan (\cos x))\right|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{4}
$$
（5）作变量替换，令 $u=x-\pi$ ，则
$$
\begin{aligned}
I & =\int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(u+\pi) \sin u}{1+\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\left(\int_{-\pi}^{\pi} \frac{u \sin u}{1+\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi \sin u}{1+\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u\right) \\
& =-2 \int_{0}^{\pi} \frac{u \sin u}{1+\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d}(\cos x) \\
& =\left.\pi(\arctan (\cos x))\right|_{0} ^{\pi}=-\frac{\pi^{2}}{2}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明恒等式
令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，且当 $x=0$ 时 $t=\pi$，$x=\pi$ 时 $t=0$。代入积分得：
$$\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) (-\mathrm{d}t) = \int_0^\pi (\pi - t) f(\sin t) \mathrm{d}t = \pi \int_0^\pi f(\sin t) \mathrm{d}t - \int_0^\pi t f(\sin t) \mathrm{d}t.$$
将右边第二项移到左边，得 $2\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \pi \int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d}x$，因此 $\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d}x$。
公式：$$\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d}x$$
提示：注意 $\sin(\pi - t) = \sin t$，且积分限变换时符号要正确处理。
步骤 2/6
目标：计算积分 (1)
利用恒等式，令 $f(\sin x) = \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$，则
$$I_1 = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x.$$
令 $u = \cos x$，则 $\mathrm{d}u = -\sin x \mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$。于是
$$\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \int_1^{-1} \frac{-\mathrm{d}u}{1+u^2} = \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} = \left. \arctan u \right|_{-1}^1 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}.$$
因此 $I_1 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$。
公式：$$\int \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} = \arctan u + C$$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $\arctan$ 函数值的计算。
步骤 3/6
目标：计算积分 (2)
利用恒等式，令 $f(\sin x) = \frac{1}{1+\cos^2 x}$，则
$$I_2 = \int_0^\pi \frac{x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{1}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x.$$
由于被积函数关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，有 $\int_0^\pi \frac{1}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x$。令 $t = \tan x$，则 $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$，$\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$，于是
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \frac{1}{1+\frac{1}{1+t^2}} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}t}{2+t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left. \arctan \frac{t}{\sqrt{2}} \right|_0^\infty = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.$$
因此 $I_2 = \frac{\pi}{2} \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi^2}{2\sqrt{2}}$。
公式：$$\int \frac{\mathrm{d}t}{a^2+t^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{t}{a} + C$$
提示：注意对称性的使用，以及 $\tan$ 换元时积分限的变换。
步骤 4/6
目标：计算积分 (3)
第一部分即 (1) 的结果 $\frac{\pi^2}{4}$。第二部分 $\int_{-1}^1 \frac{\cos x + x \sin^2 x + 1}{1+\cos x} \mathrm{d}x$ 可拆分为 $\int_{-1}^1 \frac{\cos x + 1}{1+\cos x} \mathrm{d}x + \int_{-1}^1 \frac{x \sin^2 x}{1+\cos x} \mathrm{d}x = \int_{-1}^1 1 \mathrm{d}x + \int_{-1}^1 \frac{x \sin^2 x}{1+\cos x} \mathrm{d}x$。由于 $\frac{x \sin^2 x}{1+\cos x}$ 是奇函数（$x$ 奇，$\frac{\sin^2 x}{1+\cos x}$ 偶），在对称区间上积分为0，所以第二部分等于 $\int_{-1}^1 1 \mathrm{d}x = 2$。因此 $I_3 = \frac{\pi^2}{4} + 2$。
公式：奇函数在对称区间上的积分为0
提示：注意判断函数的奇偶性，$\frac{\sin^2 x}{1+\cos x} = 1 - \cos x$ 是偶函数。
步骤 5/6
目标：计算积分 (4)
利用恒等式，令 $f(\sin x) = \frac{\sin x \sec^2 x}{1+\sec^2 x}$，则
$$I_4 = \int_0^\pi \frac{x \sin x \sec^2 x}{1+\sec^2 x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x \sec^2 x}{1+\sec^2 x} \mathrm{d}x.$$
化简被积函数：$\frac{\sin x \sec^2 x}{1+\sec^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 1} = \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$。因此
$$I_4 = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}.$$
（最后一步同 (1) 中的计算）
公式：$$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$
提示：注意三角恒等式的化简，避免复杂化。
步骤 6/6
目标：计算积分 (5)
令 $u = x - \pi$，则 $x = u + \pi$，$\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$，当 $x=0$ 时 $u=-\pi$，$x=2\pi$ 时 $u=\pi$。于是
$$I_5 = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(u+\pi) \sin(u+\pi)}{1+\cos^2(u+\pi)} \mathrm{d}u = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(u+\pi)(-\sin u)}{1+\cos^2 u} \mathrm{d}u = -\int_{-\pi}^{\pi} \frac{u \sin u}{1+\cos^2 u} \mathrm{d}u - \pi \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^2 u} \mathrm{d}u.$$
由于 $\frac{u \sin u}{1+\cos^2 u}$ 是偶函数（$u$ 奇，$\sin u$ 奇，乘积偶），$\frac{\sin u}{1+\cos^2 u}$ 是奇函数，在对称区间上奇函数积分为0，偶函数积分等于2倍半区间。因此
$$I_5 = -2 \int_0^\pi \frac{u \sin u}{1+\cos^2 u} \mathrm{d}u = -2 \cdot \frac{\pi^2}{4} = -\frac{\pi^2}{2}.$$
（最后一步利用 (1) 的结果）
公式：奇偶性：$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 0$ 若 $f$ 奇；$=2\int_0^a f(x) \mathrm{d}x$ 若 $f$ 偶
提示：注意 $\sin(u+\pi) = -\sin u$，以及奇偶性的正确判断。
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