中册 4.2 定积分计算 第17题
📝 题目
17．设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，求证 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $t=a+b-x$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(a+b-t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x$ 。
利用此结论得：
（1）由于 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ，所以
$$
\begin{aligned}
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} d x & =\frac{1}{2}\left(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} d x+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} d x\right)=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{x(\pi-2 x)} d x \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{\pi-2 x}\right) d x=\left.\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{x}{\pi-2 x}\right|_{\frac{\pi}{6}} ^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\ln 2}{\pi}
\end{aligned}
$$
又由于 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ，所以
$$
\begin{aligned}
\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x & =\frac{1}{2}\left(\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x+\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x\right)=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3}{10} \pi} \frac{1}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{\pi-2 x}\right) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{x}{\pi-2 x}\right|_{\frac{\pi}{5}} ^{\frac{3 \pi}{10}}=\frac{1}{\pi}(\ln 3-\ln 2)
\end{aligned}
$$
（2）由于 $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \frac{2-x}{\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \frac{2}{\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，所以
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{2} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\mathrm{e}} \int_{0}^{2} \frac{\mathrm{de}^{x-1}}{\left(\mathrm{e}^{x-1}\right)^{2}+1}=\left.\frac{1}{\mathrm{e}} \arctan \mathrm{e}^{x-1}\right|_{0} ^{2} \\
\cdot & =\frac{1}{\mathrm{e}}\left(\arctan \mathrm{e}-\arctan \mathrm{e}^{-1}\right)=\frac{1}{\mathrm{e}}\left[\arctan \mathrm{e}-\left(\frac{\pi}{2}-\arctan \mathrm{e}\right)\right]=\frac{2}{\mathrm{e}}\left(\arctan \mathrm{e}-\frac{\pi}{4}\right)
\end{aligned}
$$
（3）记 $\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．由 $\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ 得：
$$
I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x\right)=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{12}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明积分恒等式
令 $t = a + b - x$，则 $x = a + b - t$，$dx = -dt$，且当 $x = a$ 时 $t = b$，当 $x = b$ 时 $t = a$。于是
\[
\int_a^b f(x) dx = \int_b^a f(a+b-t) (-dt) = \int_a^b f(a+b-t) dt = \int_a^b f(a+b-x) dx.
\]
公式：\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx
提示：注意换元时积分上下限的变化，以及负号的处理。
步骤 2/6
目标：计算积分(1)的第一部分
对于积分 $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx$，由恒等式，令 $a=\pi/6, b=\pi/3$，则 $a+b=\pi/2$，于是
\[
\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2(\pi/2 - x)}{(\pi/2 - x)(\pi-2(\pi/2 - x))} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 x}{(\pi/2 - x)(2x)} dx.
\]
注意 $\pi-2(\pi/2 - x) = 2x$，且分母 $x(\pi-2x)$ 变为 $(\pi/2 - x)(2x)$，但通过恒等式可证两个积分相等，即
\[
\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^2 x}{x(\pi-2x)} dx.
\]
公式：\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx
提示：注意恒等式的应用，以及三角函数诱导公式 $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$。
步骤 3/6
目标：计算积分(1)的第一部分（续）
将两个相等的积分相加，得
\[
2I_1 = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{x(\pi-2x)} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{x(\pi-2x)} dx.
\]
所以
\[
I_1 = \frac12 \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{x(\pi-2x)} dx.
\]
利用部分分式 $\frac{1}{x(\pi-2x)} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{\pi-2x} \right)$，积分得
\[
I_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{\pi-2x} \right) dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \ln x - \ln(\pi-2x) \right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{1}{2\pi} \ln \left. \frac{x}{\pi-2x} \right|_{\pi/6}^{\pi/3}.
\]
代入上下限：$x=\pi/3$ 时 $\frac{x}{\pi-2x} = \frac{\pi/3}{\pi-2\pi/3} = \frac{\pi/3}{\pi/3} = 1$；$x=\pi/6$ 时 $\frac{x}{\pi-2x} = \frac{\pi/6}{\pi-\pi/3} = \frac{\pi/6}{2\pi/3} = \frac{1}{4}$。所以
\[
I_1 = \frac{1}{2\pi} (\ln 1 - \ln \frac14) = \frac{1}{2\pi} \ln 4 = \frac{\ln 2}{\pi}.
\]
公式：\frac{1}{x(\pi-2x)} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{\pi-2x}\right)
提示：注意部分分式分解的正确性，以及对数运算时注意符号。
步骤 4/6
目标：计算积分(1)的第二部分
对于积分 $\int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{\sin^2 x}{x(\pi-2x)} dx$，类似地，由恒等式可得该积分等于 $\int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{\cos^2 x}{x(\pi-2x)} dx$。相加得
\[
2I_2 = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{1}{x(\pi-2x)} dx,
\]
所以
\[
I_2 = \frac12 \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{1}{x(\pi-2x)} dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \ln \frac{x}{\pi-2x} \right]_{\pi/5}^{3\pi/10}.
\]
代入：$x=3\pi/10$ 时 $\frac{x}{\pi-2x} = \frac{3\pi/10}{\pi-3\pi/5} = \frac{3\pi/10}{2\pi/5} = \frac{3}{4}$；$x=\pi/5$ 时 $\frac{x}{\pi-2x} = \frac{\pi/5}{\pi-2\pi/5} = \frac{\pi/5}{3\pi/5} = \frac13$。所以
\[
I_2 = \frac{1}{2\pi} \left( \ln \frac34 - \ln \frac13 \right) = \frac{1}{2\pi} \ln \left( \frac34 \cdot 3 \right) = \frac{1}{2\pi} \ln \frac94 = \frac{1}{\pi} \ln \frac32.
\]
公式：同上
提示：注意上下限代入时计算准确，对数运算时合并。
步骤 5/6
目标：计算积分(2)
令 $I = \int_0^2 \frac{x}{e^x + e^{2-x}} dx$。由恒等式，令 $a=0, b=2$，则 $a+b=2$，所以
\[
I = \int_0^2 \frac{2-x}{e^{2-x} + e^x} dx = \int_0^2 \frac{2-x}{e^x + e^{2-x}} dx.
\]
将两个表达式相加得
\[
2I = \int_0^2 \frac{x + (2-x)}{e^x + e^{2-x}} dx = \int_0^2 \frac{2}{e^x + e^{2-x}} dx,
\]
所以
\[
I = \int_0^2 \frac{1}{e^x + e^{2-x}} dx.
\]
计算该积分：分子分母同乘以 $e^x$，得
\[
I = \int_0^2 \frac{e^x}{e^{2x} + e^2} dx = \frac{1}{e} \int_0^2 \frac{e^x}{e^{2x-1} + e} dx? \text{更准确：} \frac{e^x}{e^{2x}+e^2} = \frac{1}{e} \cdot \frac{e^{x-1}}{e^{2x-2}+1} = \frac{1}{e} \cdot \frac{e^{x-1}}{(e^{x-1})^2+1}.
\]
令 $u = e^{x-1}$，则 $du = e^{x-1} dx$，当 $x=0$ 时 $u=e^{-1}$，$x=2$ 时 $u=e$。于是
\[
I = \frac{1}{e} \int_{e^{-1}}^{e} \frac{du}{u^2+1} = \frac{1}{e} \left[ \arctan u \right]_{e^{-1}}^{e} = \frac{1}{e} (\arctan e - \arctan e^{-1}).
\]
由于 $\arctan e^{-1} = \frac{\pi}{2} - \arctan e$，所以
\[
I = \frac{1}{e} \left( \arctan e - \left( \frac{\pi}{2} - \arctan e \right) \right) = \frac{2}{e} \left( \arctan e - \frac{\pi}{4} \right).
\]
公式：\int_0^2 \frac{x}{e^x+e^{2-x}}dx = \int_0^2 \frac{1}{e^x+e^{2-x}}dx
提示：注意恒等式应用后相加的技巧，以及换元时积分限的变化。
步骤 6/6
目标：计算积分(3)
记 $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$。由恒等式，令 $a=\pi/6, b=\pi/3$，则 $a+b=\pi/2$，所以
\[
I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^3(\pi/2 - x)}{\sin^3(\pi/2 - x) + \cos^3(\pi/2 - x)} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^3 x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx.
\]
将两个表达式相加得
\[
2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6},
\]
所以 $I = \frac{\pi}{12}$。
公式：\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx
提示：注意恒等式应用后分子分母互换，相加后分子分母相同简化。
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