中册 4.2 定积分计算 第16题
📝 题目
16．设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上连续，$g(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 满足条件： $f(x)+f(-x)=A(A$ 为常数 $)$ ．证明： $\int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& \int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{-a}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x \text {. 令 } x=-t \text {, 则 } \\
& \quad \int_{-a}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(-t) g(-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{a} f(-t) g(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{a} f(-x) g(x) \mathrm{d} x .
\end{aligned}
$$
于是
$$
\int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{-a}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x .
$$
利用此结论得：
（1）由于 $\displaystyle \arctan \mathrm{e}^{x}+\arctan \mathrm{e}^{-x}=\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ．
（2）由于 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}=1$ ，所以 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=\frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{16}$ ．
（3）由于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}=1$ ，所以 $\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{8}(\pi-2)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明积分恒等式
将积分区间拆分为 $[-a,0]$ 和 $[0,a]$，并对 $[-a,0]$ 部分作变量代换 $x=-t$，利用 $g$ 为偶函数和 $f(x)+f(-x)=A$ 得到恒等式。
公式：$\int_{-a}^{a} f(x)g(x)dx = A\int_{0}^{a} g(x)dx$
提示：注意代换后积分限的变化，以及 $g(-t)=g(t)$ 的使用。
步骤 2/7
目标：计算积分 (1) 的 $f(x)$ 和 $g(x)$
对于积分 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \arctan e^x dx$，令 $f(x)=\arctan e^x$，$g(x)=|\sin x|$。验证 $f(x)+f(-x)=\arctan e^x + \arctan e^{-x} = \frac{\pi}{2}$（常数），$g(x)$ 为偶函数。
公式：$\arctan e^x + \arctan e^{-x} = \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $|\sin x|$ 是偶函数，且 $\arctan e^x$ 满足条件。
步骤 3/7
目标：计算积分 (1) 的结果
由恒等式，$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \arctan e^x dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2} |\sin x| dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = 1$
提示：注意 $|\sin x|$ 在 $[0,\pi/2]$ 上等于 $\sin x$。
步骤 4/7
目标：计算积分 (2) 的 $f(x)$ 和 $g(x)$
对于积分 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{e^x \sin^4 x}{1+e^x} dx$，令 $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$，$g(x)=\sin^4 x$。验证 $f(x)+f(-x)=\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=1$（常数），$g(x)$ 为偶函数。
公式：$\frac{e^x}{1+e^x}+\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=1$
提示：注意 $\sin^4 x$ 是偶函数。
步骤 5/7
目标：计算积分 (2) 的结果
由恒等式，$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{e^x \sin^4 x}{1+e^x} dx = 1 \cdot \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x dx$。利用 Wallis 公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x dx = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$。
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n} x dx = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$
提示：注意 Wallis 公式中双阶乘的计算。
步骤 6/7
目标：计算积分 (3) 的 $f(x)$ 和 $g(x)$
对于积分 $I=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin^2 x}{1+e^{-x}} dx$，令 $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，$g(x)=\sin^2 x$。验证 $f(x)+f(-x)=\frac{1}{1+e^{-x}}+\frac{1}{1+e^{x}}=1$（常数），$g(x)$ 为偶函数。
公式：$\frac{1}{1+e^{-x}}+\frac{1}{1+e^{x}}=1$
提示：注意 $\sin^2 x$ 是偶函数。
步骤 7/7
目标：计算积分 (3) 的结果
由恒等式，$I = 1 \cdot \int_{0}^{\pi/4} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} = \frac{\pi-2}{8}$。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
提示：注意积分限为 $0$ 到 $\pi/4$，计算定积分时小心。
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