中册 4.2 定积分计算 第15题
📝 题目
15．设 $f(x)$ 是区间 $[-a, a](a>0)$ 上的连续偶函数．证明 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $x=-t$ ，则 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{a}^{-a} \frac{f(-t)}{1+\mathrm{e}^{-t}} \mathrm{~d}(-t)=\int_{-a}^{a} \frac{\mathrm{e}^{x} f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ 。从而
$$
\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x+\int_{-a}^{a} \frac{\mathrm{e}^{x} f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x\right)=\frac{1}{2} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x .
$$
利用此公式得：
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=\frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{16}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} x^{4} \mathrm{~d} x=\frac{1}{5}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} B\left(\frac{1}{2}, 2\right)=\frac{2}{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明积分等式
令 $x=-t$，则 $dx=-dt$，且当 $x=-a$ 时 $t=a$，$x=a$ 时 $t=-a$。于是
\[
\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{a}^{-a} \frac{f(-t)}{1+e^{-t}} (-dt) = \int_{-a}^{a} \frac{f(-t)}{1+e^{-t}} dt.
\]
由于 $f$ 是偶函数，$f(-t)=f(t)$，且 $1+e^{-t} = \frac{1+e^t}{e^t}$，所以
\[
\frac{1}{1+e^{-t}} = \frac{e^t}{1+e^t}.
\]
因此
\[
\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{-a}^{a} \frac{e^t f(t)}{1+e^t} dt = \int_{-a}^{a} \frac{e^x f(x)}{1+e^x} dx.
\]
公式：变量代换 $x=-t$，偶函数性质 $f(-t)=f(t)$，指数恒等式 $1+e^{-t}=\frac{1+e^t}{e^t}$
提示：注意积分限变换时符号的处理，以及 $1+e^{-t}$ 的变形。
步骤 2/6
目标：合并两个积分
将原积分记为 $I$，则 $I = \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx$，同时由第一步得 $I = \int_{-a}^{a} \frac{e^x f(x)}{1+e^x} dx$。两式相加得
\[
2I = \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx + \int_{-a}^{a} \frac{e^x f(x)}{1+e^x} dx = \int_{-a}^{a} \frac{(1+e^x)f(x)}{1+e^x} dx = \int_{-a}^{a} f(x) dx.
\]
因此 $I = \frac{1}{2} \int_{-a}^{a} f(x) dx$。
公式：积分线性性质
提示：注意合并时分子分母约去 $1+e^x$。
步骤 3/6
目标：利用偶函数性质简化积分限
由于 $f(x)$ 是偶函数，$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$。代入得
\[
I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(x) dx.
\]
即证得等式成立。
公式：偶函数积分性质 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$
提示：注意 $f$ 是偶函数，积分区间对称。
步骤 4/6
目标：计算积分 (1)：$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^4 x}{1+e^x} dx$
令 $f(x)=\sin^4 x$，则 $f(x)$ 是偶函数（因为 $\sin^4 x$ 是偶函数）。由已证公式，
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^4 x}{1+e^x} dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x dx.
\]
利用 Wallis 公式或递推公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n} x dx = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$。这里 $n=2$，所以
\[
\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x dx = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.
\]
公式：Wallis 公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n} x dx = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $\sin^4 x$ 是偶函数，且 Wallis 公式中双阶乘的计算。
步骤 5/6
目标：计算积分 (2)：$\int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1+e^x} dx$
令 $f(x)=x^4$，则 $f(x)$ 是偶函数。由已证公式，
\[
\int_{-1}^{1} \frac{x^4}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
\]
公式：幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
提示：直接计算定积分即可，注意 $x^4$ 是偶函数。
步骤 6/6
目标：计算积分 (3)：$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{1+e^x} dx$
令 $f(x)=\cos^3 x$，则 $f(x)$ 是偶函数（因为 $\cos x$ 是偶函数）。由已证公式，
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{1+e^x} dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x dx.
\]
计算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x dx$：利用公式 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n+1} x dx = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$，这里 $n=1$，所以
\[
\int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x dx = \frac{2!!}{3!!} = \frac{2}{3}.
\]
或者直接计算：$\cos^3 x = \cos x (1-\sin^2 x)$，令 $u=\sin x$，则 $du=\cos x dx$，积分限 $0$ 到 $1$，得 $\int_0^1 (1-u^2) du = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n+1} x dx = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ 或换元法
提示：注意 $\cos^3 x$ 是偶函数，积分结果可用递推或换元。
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