中册 4.2 定积分计算 第14题
📝 题目
14．设 $f(x)$ 为 $[-a, a]$ 上的连续函数．证明： $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{dx}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
作变换 $t=-x$ ，则 $\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(-t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{a} f(-x) \mathrm{d} x$ 。所以 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ．
利用此公式得
$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\right) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1-\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{2} x \mathrm{~d} x=\left.2 \tan x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=2 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明积分恒等式
考虑积分 $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx$，作变量代换 $t = -x$，则 $x = -t$，$dx = -dt$，当 $x$ 从 $-a$ 到 $0$ 时，$t$ 从 $a$ 到 $0$。于是
$$
\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-t) (-dt) = \int_{0}^{a} f(-t) \, dt = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx.
$$
因此
$$
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) \, dx.
$$
公式：\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx
提示：注意代换时积分限的变化和符号的处理。
步骤 2/5
目标：应用恒等式到具体积分
令 $f(x) = \frac{1}{1+\sin x}$，则 $f(-x) = \frac{1}{1+\sin(-x)} = \frac{1}{1-\sin x}$。由已证恒等式，取 $a = \frac{\pi}{4}$，得
$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1-\sin x} \right) \, dx.
$$
公式：\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} (f(x)+f(-x)) \, dx
提示：正确计算 $f(-x)$，注意 $\sin(-x) = -\sin x$。
步骤 3/5
目标：合并被积函数
计算括号内的和：
$$
\frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1-\sin x} = \frac{(1-\sin x)+(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} = \frac{2}{1-\sin^2 x}.
$$
因此
$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1-\sin^2 x} \, dx.
$$
公式：\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x} = \frac{2}{1-\sin^2 x}
提示：通分时注意分母为平方差公式。
步骤 4/5
目标：利用三角恒等式化简
由 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，得 $1-\sin^2 x = \cos^2 x$。所以
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1-\sin^2 x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{\cos^2 x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx.
$$
公式：\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
提示：注意 $\cos^2 x$ 在 $[0,\pi/4]$ 上非零，可直接除。
步骤 5/5
目标：计算积分
因为 $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$，所以
$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = 2 \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right) = 2 \cdot (1 - 0) = 2.
$$
公式：\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
提示：注意代入上下限时计算准确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。