中册 4.2 定积分计算 第13题
📝 题目
13．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $n$ 为正整数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}}=1+2 \cos t+\cdots+2 \cos k t$ ，得 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2）由于
$$
\begin{aligned}
& \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x}=1+2 \cos x+2 \cos 2 x+\cdots+2 \cos 2 n x \\
& \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x}=1+2 \cos x+2 \cos 2 x+\cdots+2 \cos 2(n-1) x
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} d x=\int_{0}^{\pi}(1+2 \cos x+2 \cos 2 x+\cdots+2 \cos 2 n x) d x=\pi \\
& \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} d x=\int_{0}^{\pi}(1+2 \cos x+2 \cos 2 x+\cdots+2 \cos 2(n-1) x) d x=\pi
\end{aligned}
$$
于是
$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} d x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} d x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明恒等式：将Dirichlet核展开为余弦级数
利用三角恒等式，对于任意整数$k$，有
$$
\frac{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)t}{\sin\frac{t}{2}} = 1 + 2\sum_{j=1}^{k}\cos(jt).
$$
这是Dirichlet核的表达式。
公式：$$\frac{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)t}{\sin\frac{t}{2}} = 1 + 2\sum_{j=1}^{k}\cos(jt)$$
提示：注意$\sin\frac{t}{2}$在$t=0$处为零，但极限存在，积分时需考虑奇点可去。
步骤 2/5
目标：计算积分（1）
对等式两边在$[0,\pi]$上积分：
$$
\int_0^\pi \frac{\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)t}{\sin\frac{t}{2}} dt = \int_0^\pi \left(1 + 2\sum_{j=1}^{k}\cos(jt)\right) dt.
$$
由于$\int_0^\pi \cos(jt) dt = 0$对$j\ge 1$成立，而$\int_0^\pi 1 dt = \pi$，因此积分值为$\pi$。
公式：$$\int_0^\pi \cos(jt) dt = 0 \quad (j\ge 1)$$
提示：注意$\cos(jt)$在$[0,\pi]$上的积分确实为零，因为$\sin(j\pi)=0$。
步骤 3/5
目标：将（2）中的被积函数化为Dirichlet核形式
令$k=2n$，则$k+\frac{1}{2} = 2n+\frac{1}{2}$，但题目中分子是$\sin(2n+1)x$，分母是$\sin x$。注意$\sin(2n+1)x = \sin\left(2n+1\right)x$，而$\sin x = \sin\frac{2x}{2}$。实际上，利用恒等式：
$$
\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = 1 + 2\sum_{j=1}^{n}\cos(2jx).
$$
这是因为令$t=2x$，则$\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)2x}{\sin x}$，但更直接地，Dirichlet核的表达式为$\frac{\sin\left(m+\frac{1}{2}\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}} = 1+2\sum_{j=1}^m\cos(j\theta)$。取$\theta=2x$，$m=n$，则$\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)2x}{\sin x} = \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x}$，而右边为$1+2\sum_{j=1}^n\cos(2jx)$。因此成立。
公式：$$\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = 1 + 2\sum_{j=1}^{n}\cos(2jx)$$
提示：注意$\sin x$与$\sin\frac{\theta}{2}$的对应关系：$\theta=2x$，$\sin\frac{\theta}{2}=\sin x$。
步骤 4/5
目标：类似地写出$\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}$的展开式
将$n$替换为$n-1$，得
$$
\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x} = 1 + 2\sum_{j=1}^{n-1}\cos(2jx).
$$
公式：$$\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x} = 1 + 2\sum_{j=1}^{n-1}\cos(2jx)$$
提示：注意求和上限为$n-1$，因为$2n-1 = 2(n-1)+1$。
步骤 5/5
目标：计算积分（2）并证明相等
对两个展开式在$[0,\pi]$上积分：
$$
\int_0^\pi \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \left(1 + 2\sum_{j=1}^{n}\cos(2jx)\right) dx = \pi,
$$
$$
\int_0^\pi \frac{\sin(2n-1)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \left(1 + 2\sum_{j=1}^{n-1}\cos(2jx)\right) dx = \pi.
$$
因为$\int_0^\pi \cos(2jx) dx = 0$对$j\ge 1$成立。因此两个积分相等，都等于$\pi$。
公式：$$\int_0^\pi \cos(2jx) dx = 0 \quad (j\ge 1)$$
提示：注意积分区间为$[0,\pi]$，$\cos(2jx)$的周期为$\pi/j$，但积分仍为零。
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