中册 4.2 定积分计算 第23题
📝 题目
23．设 $f(x)$ 为连续函数，且满足 $f(x)+f(y)=f(x y), x>0, y>0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{8} f(2)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $f(x)+f(y)=f(x y)$ 得
$$
f(1)=0, f(2)=f(\sqrt{2})+f(\sqrt{2})=2 f(\sqrt{2}), f(\cos \varphi)+f\left(\frac{1}{\cos \varphi}\right)=f(1)=0
$$
于是
$$
\begin{aligned}
f(1+\tan \varphi) & =f\left(\sqrt{2} \frac{1}{\cos \varphi} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right)=f(\sqrt{2})+f\left(\frac{1}{\cos \varphi}\right)+f\left(\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \\
& =\frac{1}{2} f(2)-f(\cos \varphi)+f\left(\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right)
\end{aligned}
$$
令 $x=\tan \varphi$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(1+\tan \varphi) \mathrm{d} \varphi$ ．
再由 $\displaystyle 1+\tan \varphi=\sqrt{2} \frac{1}{\cos \varphi} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)$ 得
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(1+\tan \varphi) \mathrm{d} \varphi & =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(2) \mathrm{d} \varphi+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f\left(\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \mathrm{d} \varphi-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\cos \varphi) \mathrm{d} \varphi \\
& =\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} f(2)+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f\left(\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \mathrm{d} \varphi-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\cos \varphi) \mathrm{d} \varphi
\end{aligned}
$$
令 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}-\varphi$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f\left(\sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \mathrm{d} \varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\cos t) \mathrm{d} t$ 。所以 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{8} f(2)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导函数性质
由函数方程 $f(x)+f(y)=f(xy)$ 对任意 $x>0,y>0$ 成立，令 $x=y=1$ 得 $f(1)+f(1)=f(1)$，所以 $f(1)=0$。令 $x=y=\sqrt{2}$ 得 $f(2)=2f(\sqrt{2})$。令 $x=\cos\varphi$, $y=\frac{1}{\cos\varphi}$ 得 $f(\cos\varphi)+f\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)=f(1)=0$，即 $f\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)=-f(\cos\varphi)$。
公式：f(x)+f(y)=f(xy)
提示：注意函数定义域为正实数，代入特殊值时要保证自变量为正。
步骤 2/6
目标：变形被积函数
考虑 $f(1+\tan\varphi)$，利用恒等式 $1+\tan\varphi = \sqrt{2}\frac{1}{\cos\varphi}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)$。由函数方程得：
$$
f(1+\tan\varphi) = f\left(\sqrt{2}\right) + f\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right) + f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right).
$$
代入 $f(\sqrt{2})=\frac{1}{2}f(2)$ 和 $f\left(\frac{1}{\cos\varphi}\right)=-f(\cos\varphi)$，得到：
$$
f(1+\tan\varphi) = \frac{1}{2}f(2) - f(\cos\varphi) + f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right).
$$
公式：f(ab)=f(a)+f(b)
提示：注意 $f(\sqrt{2})$ 与 $f(2)$ 的关系，以及 $f(1/\cos\varphi)$ 的转换。
步骤 3/6
目标：变量代换
令 $x = \tan\varphi$，则 $\mathrm{d}x = \sec^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi$，且 $1+x^2 = 1+\tan^2\varphi = \sec^2\varphi$，所以 $\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \mathrm{d}\varphi$。当 $x=0$ 时 $\varphi=0$，当 $x=1$ 时 $\varphi=\frac{\pi}{4}$。因此原积分化为：
$$
\int_0^1 \frac{f(1+x)}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \int_0^{\pi/4} f(1+\tan\varphi) \, \mathrm{d}\varphi.
$$
公式：x = \tan\varphi, \mathrm{d}x = \sec^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi
提示：注意积分限的变化，以及微分形式的正确替换。
步骤 4/6
目标：代入表达式并拆分积分
将 $f(1+\tan\varphi)$ 的表达式代入积分：
$$
\int_0^{\pi/4} f(1+\tan\varphi) \, \mathrm{d}\varphi = \int_0^{\pi/4} \left[ \frac{1}{2}f(2) - f(\cos\varphi) + f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \right] \mathrm{d}\varphi.
$$
拆分为三个积分：
$$
= \frac{1}{2}f(2) \int_0^{\pi/4} \mathrm{d}\varphi - \int_0^{\pi/4} f(\cos\varphi) \, \mathrm{d}\varphi + \int_0^{\pi/4} f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \, \mathrm{d}\varphi.
$$
第一个积分值为 $\frac{\pi}{4}$，所以：
$$
= \frac{\pi}{8}f(2) - \int_0^{\pi/4} f(\cos\varphi) \, \mathrm{d}\varphi + \int_0^{\pi/4} f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \, \mathrm{d}\varphi.
$$
提示：注意 $\frac{1}{2}f(2)$ 是常数，可直接提出积分号。
步骤 5/6
目标：对称性变换
对第三个积分作变量代换 $t = \frac{\pi}{4} - \varphi$，则当 $\varphi=0$ 时 $t=\frac{\pi}{4}$，当 $\varphi=\frac{\pi}{4}$ 时 $t=0$，且 $\mathrm{d}\varphi = -\mathrm{d}t$。于是：
$$
\int_0^{\pi/4} f\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)\right) \, \mathrm{d}\varphi = \int_{\pi/4}^0 f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\right) (-\mathrm{d}t) = \int_0^{\pi/4} f(\cos t) \, \mathrm{d}t.
$$
因此第三个积分等于 $\int_0^{\pi/4} f(\cos\varphi) \, \mathrm{d}\varphi$。
公式：\sin(\pi/2 - t) = \cos t
提示：注意积分限的变化和负号的处理，最终得到两个积分相等。
步骤 6/6
目标：合并结果
将第三步的结果代入第二步的表达式：
$$
\int_0^{\pi/4} f(1+\tan\varphi) \, \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi}{8}f(2) - \int_0^{\pi/4} f(\cos\varphi) \, \mathrm{d}\varphi + \int_0^{\pi/4} f(\cos\varphi) \, \mathrm{d}\varphi = \frac{\pi}{8}f(2).
$$
因此原积分得证：
$$
\int_0^1 \frac{f(1+x)}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} f(2).
$$
提示：注意两个积分抵消，最终结果仅剩常数项。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。