中册 4.2 定积分计算 第24题

\section*{解题过程：} （1）方法 1： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 \frac{m+1}{2}-1} x \cos ^{2 \frac{n+1}{2}-1} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} B\left(\frac{n+1}{2}, \frac{m+1}{2}\right)$ ． 当 $m, n$ 为偶数时，$\displaystyle J(m, n)=\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ ； 当 $m, n$ 为其他时，$\displaystyle J(m, n)=\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ ． 方法 2：$\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{m+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1} x \mathrm{~d}\left(\sin ^{m+1} x\right)$ $$ \begin{aligned} & =\left.\frac{\sin ^{m+1} x \cos ^{n-1} x}{m+1}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\frac{n-1}{m+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m+2} x \cos ^{n-2} x \mathrm{~d} x \\ & =\frac{n-1}{m+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x\left(1-\cos ^{2} x\right) \cos ^{n-2} x \mathrm{~d} x \end{aligned} $$ 于是 $\displaystyle J(m, n)=\frac{n-1}{m+1} J(m, n-2)-\frac{n-1}{m+1} J(m, n)$ ，即 $\displaystyle J(m, n)=\frac{n-1}{m+n} J(m, n-2)$ ．由此得： 当 $m, n$ 为偶数时，$\displaystyle J(m, n)=\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ ； 当 $m, n$ 为其他时，$\displaystyle J(m, n)=\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ ． （2）当 $n \geqslant 2$ 时， $$ \begin{aligned} I_{n} & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-1} x \mathrm{~d}(\cos x)=-\left.\sin ^{n-1} x \cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+(n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-1} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x \\ & =(n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n-2} x \mathrm{~d} x-(n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=(\stackrel{\rightharpoonup}{n}-1) I_{n-2}-(n-1) I_{n} \end{aligned} $$ 所以 $\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n} I_{n-2}$ ． 由递推公式及 $\displaystyle I_{0}=\frac{\pi}{2}, I_{1}=1$ 得 当 $n=2 m, m \geqslant 1$ 时，$\displaystyle I_{2 m}=\frac{(2 m-1)!!}{(2 m)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ ； 当 $n=2 m+1, m \geqslant 1$ 时，$\displaystyle I_{2 m+1}=\frac{(2 m)!!}{(2 m+1)!!}$ ． （3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x \cos x)^{n} \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} 2 x \mathrm{~d} x$ $$ =2^{-(n+1)} \int_{0}^{\pi} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t=2^{-(n+1)}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t\right) $$ 令 $\displaystyle u=t-\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}+u\right) \mathrm{d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} u \mathrm{~d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ． 令 $\displaystyle u=\frac{\pi}{2}-t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-u\right)(-\mathrm{d} u)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} u \mathrm{~d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ． 于是 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-(n+1)} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ． （4）由于 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n+1} x \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n} x \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n-1} x \mathrm{~d} x$ ，由（2）得 $$ \frac{(2 n)!!}{(2 n+1)!!}<\frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}<\frac{(2 n-2)!!}{(2 n-1)!!} . $$ 于是 $$ A_{n}=\left[\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right]^{2} \frac{1}{2 n+1}<\frac{\pi}{2}<\left[\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right]^{2} \frac{1}{2 n}=B_{n} . $$ 因为 $$ 0