中册 4.2 定积分计算 第26题
📝 题目
26．设 $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, n$ 为自然数．证明：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}, n \geqslant 3$ ；（2）$I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^{n-1} \mathrm{~d}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=-\left.\frac{1}{3} x^{n-1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1}+\frac{1}{3} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}(n-1) x^{n-2} \mathrm{~d} x$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{n-1}{3} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} x^{n-2} \mathrm{~d} x=\frac{n-1}{3} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} x^{n-2} \mathrm{~d} x-\frac{n-1}{3} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} x^{n} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{n-1}{3}\left(I_{n-2}-I_{n}\right)
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}$ ．
（2）当 $n \geqslant 3$ 时，由于 $x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \leqslant x^{n-1} \sqrt{1-x^{2}} \leqslant x^{n-2} \sqrt{1-x^{2}}, x \in[0,1]$ ，所以
$$
\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n-1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n-2} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x
$$
即 $I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ．
（3）由于 $\displaystyle \frac{n-1}{n+2}=\frac{I_{n}}{I_{n-2}} \leqslant \frac{I_{n}}{I_{n-1}} \leqslant 1$ ，而 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n+2}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明递推关系（1）
令 $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx$。利用分部积分法，令 $u = x^{n-1}$，$dv = x \sqrt{1-x^2} \, dx$。注意到 $d(1-x^2)^{3/2} = -3x \sqrt{1-x^2} \, dx$，因此 $x \sqrt{1-x^2} \, dx = -\frac{1}{3} d(1-x^2)^{3/2}$。于是
$$ I_n = \int_0^1 x^{n-1} \cdot x \sqrt{1-x^2} \, dx = -\frac{1}{3} \int_0^1 x^{n-1} \, d(1-x^2)^{3/2}. $$
分部积分得
$$ I_n = -\frac{1}{3} \left[ x^{n-1} (1-x^2)^{3/2} \right]_0^1 + \frac{1}{3} \int_0^1 (1-x^2)^{3/2} (n-1) x^{n-2} \, dx. $$
边界项在 $x=0$ 和 $x=1$ 处均为0，故
$$ I_n = \frac{n-1}{3} \int_0^1 (1-x^2)^{3/2} x^{n-2} \, dx = \frac{n-1}{3} \int_0^1 (1-x^2) \sqrt{1-x^2} \, x^{n-2} \, dx. $$
展开得
$$ I_n = \frac{n-1}{3} \left( \int_0^1 x^{n-2} \sqrt{1-x^2} \, dx - \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx \right) = \frac{n-1}{3} (I_{n-2} - I_n). $$
解出 $I_n$：
$$ I_n = \frac{n-1}{n+2} I_{n-2}. $$
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意 $d(1-x^2)^{3/2} = -3x\sqrt{1-x^2} \, dx$，符号不要弄错。
步骤 2/3
目标：证明单调性（2）
对于 $x \in [0,1]$，有 $0 \leq x \leq 1$，因此 $x^n \leq x^{n-1} \leq x^{n-2}$。又因为 $\sqrt{1-x^2} \geq 0$，所以
$$ x^n \sqrt{1-x^2} \leq x^{n-1} \sqrt{1-x^2} \leq x^{n-2} \sqrt{1-x^2}. $$
在区间 $[0,1]$ 上积分，由积分的保序性得
$$ \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx \leq \int_0^1 x^{n-1} \sqrt{1-x^2} \, dx \leq \int_0^1 x^{n-2} \sqrt{1-x^2} \, dx, $$
即 $I_n \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}$。
公式：积分保序性：若 $f(x) \leq g(x)$，则 $\int f \leq \int g$
提示：注意 $n$ 是自然数，$n \geq 3$ 时不等式成立。
步骤 3/3
目标：证明极限（3）
由（1）知 $I_n = \frac{n-1}{n+2} I_{n-2}$，所以 $\frac{I_n}{I_{n-2}} = \frac{n-1}{n+2}$。由（2）知 $I_n \leq I_{n-1} \leq I_{n-2}$，因此
$$ \frac{I_n}{I_{n-2}} \leq \frac{I_n}{I_{n-1}} \leq 1. $$
即
$$ \frac{n-1}{n+2} \leq \frac{I_n}{I_{n-1}} \leq 1. $$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n-1}{n+2} \to 1$，由夹逼定理得
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{I_{n-1}} = 1. $$
公式：夹逼定理：若 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$，则 $\lim b_n = L$
提示：注意 $I_n > 0$，所以不等式方向正确。
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